Suites de fonctions
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Il n'existe pas de suite d'applications non bornées qui converge uniformément
vers une application bornée (mais ceci peut être vrai dans le cas de la convergence simple).
L'exercice 2.4 illustre ces différents comportements.
Exercice 2.4
1 - Montrer que les applications f n : x E lR f-+ min(lx l , n) sont bornées et
que la suite Un)n converge simplement vers une application qui n'est pas
bornée. La convergence de la suite Un)n est-elle uniforme ?
2 - Montrer que les applications f n : x E lR f-+ x + � ne sont pas bornées
mais que la suite Un)n converge uniformément sur R La fonction limite
est-elle une application bornée ?
Convergence du produit de deux suites d'applications
PROPOSITION 2.4
X Si Un)n et (gn)n sont deux suites d'applications de X dans lR qui convergent
simplement sur X vers f et g respectivement, alors la suite d'applications de
terme général f n x 9n converge simplement sur X vers f x g.
X Si Un)n et (gn)n sont deux suites d'applications de B(X, JR) qui convergent
uniformément sur X vers f et g respectivement alors la suite d'applications
de terme général f n x gn converge uniformément sur X vers f x g.
Démonstration 12: Les deux suites d'applications Un)n et (gn)n convergent
simplement sur X vers les applications f et g si pour tout x E X fixé, les
suites de réels (f11 (x))nEN et (gn(x))nEN ont pour limites les réels f(x) et g(x).
Il résulte des propriétés des suites numériques <7 > que la suite réelle de terme
général f11(x) g11 (x) converge vers f(x) g(x). Par définition de la convergence
simple, ceci signifie que la suite d'applications de terme général fn xg11 converge
simplement sur X vers f x g.
12: Supposons que les deux suites d'applications bornées Un)n et (g11)11 qui
convergent uniformément sur X vers f et g. D'après la proposition 2.2, les
suites numériques de terme général Un = ll f - fn ll oo,X et Vn = ll g - gn ll oo,X
convergent vers O. En utilisant la proposition 2.1, on obtient pour tout n EN,
Il (! X g) - Un X gn) ll oo,X = ll J X (g - gn) + g X (f - fn)
- (f - fn) X (g - gn) ll oo,X
�
ll J - fn ll oo,X X
ll g - 9n
ll oo,X +
ll J
ll oo,X X
l! g - gn ll oo,X
+ l l g ll oo,X X
ll J - fn ll oo,X ·
<7 > Voir la proposition 5.8 p. 175 du Cours de première année.
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Il n'existe pas de suite d'applications non bornées qui converge uniformément
vers une application bornée (mais ceci peut être vrai dans le cas de la convergence simple).
L'exercice 2.4 illustre ces différents comportements.
Exercice 2.4
1 - Montrer que les applications f n : x E lR f-+ min(lx l , n) sont bornées et
que la suite Un)n converge simplement vers une application qui n'est pas
bornée. La convergence de la suite Un)n est-elle uniforme ?
2 - Montrer que les applications f n : x E lR f-+ x + � ne sont pas bornées
mais que la suite Un)n converge uniformément sur R La fonction limite
est-elle une application bornée ?
Convergence du produit de deux suites d'applications
PROPOSITION 2.4
X Si Un)n et (gn)n sont deux suites d'applications de X dans lR qui convergent
simplement sur X vers f et g respectivement, alors la suite d'applications de
terme général f n x 9n converge simplement sur X vers f x g.
X Si Un)n et (gn)n sont deux suites d'applications de B(X, JR) qui convergent
uniformément sur X vers f et g respectivement alors la suite d'applications
de terme général f n x gn converge uniformément sur X vers f x g.
Démonstration 12: Les deux suites d'applications Un)n et (gn)n convergent
simplement sur X vers les applications f et g si pour tout x E X fixé, les
suites de réels (f11 (x))nEN et (gn(x))nEN ont pour limites les réels f(x) et g(x).
Il résulte des propriétés des suites numériques <7 > que la suite réelle de terme
général f11(x) g11 (x) converge vers f(x) g(x). Par définition de la convergence
simple, ceci signifie que la suite d'applications de terme général fn xg11 converge
simplement sur X vers f x g.
12: Supposons que les deux suites d'applications bornées Un)n et (g11)11 qui
convergent uniformément sur X vers f et g. D'après la proposition 2.2, les
suites numériques de terme général Un = ll f - fn ll oo,X et Vn = ll g - gn ll oo,X
convergent vers O. En utilisant la proposition 2.1, on obtient pour tout n EN,
Il (! X g) - Un X gn) ll oo,X = ll J X (g - gn) + g X (f - fn)
- (f - fn) X (g - gn) ll oo,X
�
ll J - fn ll oo,X X
ll g - 9n
ll oo,X +
ll J
ll oo,X X
l! g - gn ll oo,X
+ l l g ll oo,X X
ll J - fn ll oo,X ·
<7 > Voir la proposition 5.8 p. 175 du Cours de première année.