Chapitre II • Théorèmes fondamentaux
(2) La non-continuité de I
−1 : (E, 1 ) → (E, ∞ ). Si I
−1 était continue, il existerait
C > 0 tel que
∀ f ∈ E, f ∞ = I
−1 ( f ) ∞ ≤ C f 1 .
Soit alors ( f n ) la suite de fonctions de E définie par f n (t) = t
n . On a
f n ∞ = 1 et f n 1 =
1
n+1
. D’où 1 ≤ C
1
n+1
et donc C ≥ n + 1 pour tout n, ce qui est
impossible. Cette contradiction montre que I
−1 n’est pas continue.
(3) On sait que X est un espace complet ; si Y était complet aussi, on pourrait appliquer
le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16). Par conséquent, Y n’est pas complet.
Exercice II.13
Soit I : E 1 = (E, ∞ ) → E 2 = (E, ) l’application identité. Il est clair que I est linéaire
et bijective. Soit maintenant ( f n , I( f n )) une suite du graphe de I convergente vers ( f, g)
dans E 1 × E 2 . Alors
f n − f ∞ → 0 et I( f n ) − g = f n − g → 0.
La première convergence implique clairement f n (t) → f (t) si t ∈ [0, 1]. La seconde
convergence implique par hypothèse f n (t) → g(t) si t ∈ [0, 1]. L’unicité de la limite
donne f (t) = g(t) si t ∈ [0, 1], soit encore f = g = I( f ), ce qui montre que le graphe
de I est fermé. Puisque E 1 et E 2 sont des Banach, le théorème du graphe fermé (P 2.17)
assure que I est continue. Donc il existe α > 0 tel que pour tout f ∈ E,
f = I( f ) ≤ α f ∞ .
D’autre part, I est bijective, et par le théorème d’isomorphisme de Banach, I
−1 est continue. Il existe donc β > 0 tel que pour toute f ∈ E,
f ∞ = I
−1 ( f ) ∞ ≤ β f .
Autrement dit, les deux normes sont équivalentes.
Exercice II.14
(1) (i) (α) ⇒ (β).
Soit N un supplémentaire topologique de M dans E. Par (P 2.8) il existe P ∈ L(E) tel
que P
2
= P, Im(P) = M, ker (P) = N.
Soit Q = I − P. Alors, ker (Q) = M. Soit S : E/M → E définie par S ([x]) = Q(x)
où x ∈ [x]. L’application S est bien définie, car si x, y ∈ [x], on a x − y ∈ M et donc
Q(x − y) = 0, ou encore Q(x) = Q(y). S est clairement linéaire.
D’autre part, S ([x]) = Q(x) ≤ ≤Q x pour tout x ∈ [x]. D’où
S ([x]) ≤ ≤Q inf{{x ; x ∈ [x]} = Q [x], ce qui donne la continuité de S .
Puisque P(x) ∈ M, π(P(x)) = 0, et on a donc
(πS )([x]) = π(Q(x)) = π((I − P)(x)) = π(x) − π(P(x)) = π(x) = [x],
c’est-à-dire πS = [I].
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(2) La non-continuité de I
−1 : (E, 1 ) → (E, ∞ ). Si I
−1 était continue, il existerait
C > 0 tel que
∀ f ∈ E, f ∞ = I
−1 ( f ) ∞ ≤ C f 1 .
Soit alors ( f n ) la suite de fonctions de E définie par f n (t) = t
n . On a
f n ∞ = 1 et f n 1 =
1
n+1
. D’où 1 ≤ C
1
n+1
et donc C ≥ n + 1 pour tout n, ce qui est
impossible. Cette contradiction montre que I
−1 n’est pas continue.
(3) On sait que X est un espace complet ; si Y était complet aussi, on pourrait appliquer
le théorème d’isomorphisme de Banach (P 2.16). Par conséquent, Y n’est pas complet.
Exercice II.13
Soit I : E 1 = (E, ∞ ) → E 2 = (E, ) l’application identité. Il est clair que I est linéaire
et bijective. Soit maintenant ( f n , I( f n )) une suite du graphe de I convergente vers ( f, g)
dans E 1 × E 2 . Alors
f n − f ∞ → 0 et I( f n ) − g = f n − g → 0.
La première convergence implique clairement f n (t) → f (t) si t ∈ [0, 1]. La seconde
convergence implique par hypothèse f n (t) → g(t) si t ∈ [0, 1]. L’unicité de la limite
donne f (t) = g(t) si t ∈ [0, 1], soit encore f = g = I( f ), ce qui montre que le graphe
de I est fermé. Puisque E 1 et E 2 sont des Banach, le théorème du graphe fermé (P 2.17)
assure que I est continue. Donc il existe α > 0 tel que pour tout f ∈ E,
f = I( f ) ≤ α f ∞ .
D’autre part, I est bijective, et par le théorème d’isomorphisme de Banach, I
−1 est continue. Il existe donc β > 0 tel que pour toute f ∈ E,
f ∞ = I
−1 ( f ) ∞ ≤ β f .
Autrement dit, les deux normes sont équivalentes.
Exercice II.14
(1) (i) (α) ⇒ (β).
Soit N un supplémentaire topologique de M dans E. Par (P 2.8) il existe P ∈ L(E) tel
que P
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= P, Im(P) = M, ker (P) = N.
Soit Q = I − P. Alors, ker (Q) = M. Soit S : E/M → E définie par S ([x]) = Q(x)
où x ∈ [x]. L’application S est bien définie, car si x, y ∈ [x], on a x − y ∈ M et donc
Q(x − y) = 0, ou encore Q(x) = Q(y). S est clairement linéaire.
D’autre part, S ([x]) = Q(x) ≤ ≤Q x pour tout x ∈ [x]. D’où
S ([x]) ≤ ≤Q inf{{x ; x ∈ [x]} = Q [x], ce qui donne la continuité de S .
Puisque P(x) ∈ M, π(P(x)) = 0, et on a donc
(πS )([x]) = π(Q(x)) = π((I − P)(x)) = π(x) − π(P(x)) = π(x) = [x],
c’est-à-dire πS = [I].
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