AVANT-PROPOS
L’idée de cet ouvrage s’est peu à peu dégagée à l’occasion de rencontres (colloques,
soutenances de thèse, GDR, etc.) entre trois amis universitaires travaillant, à des titres
divers, dans le domaine de l’analyse fonctionelle. Cette Analyse dite fonctionnelle interagit avec de nombreux autres domaines des mathématiques, avec un enrichissement
mutuel. C’est ce que nous avons tenté de mettre en évidence tout au long de ces dix
chapitres d’exercices corrigés et commentés, en ayant le souci de nous maintenir à un
niveau moyen qui est celui d’une première année de Master, c’est-à-dire celui du M1,
et de rendre l’utilisation de cet ouvrage commode pour un lecteur motivé et ayant un
niveau initial équivalent à celui du L3. Illustrons par quelques exemples les interactions
mentionnées plus haut :
1. Convexité :
Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche
sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers)
aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont
utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des
opérateurs ayant une « grande » algèbre de Deddens associée. Un autre aspect de la
convexité est la notion de point extrémal, présente au chapitre IX (avec le théorème
de Krein-Milman sous-jacent) et au chapitre VI avec la caractérisation des points
extrémaux de la boule unité des opérateurs sur un Hilbert, qui fait apparaître des
phénomènes nouveaux intéressants (co-isométries vraies) en dimension infinie.
2. Topologie :
L’utilisation de la compacité apparaît au chapitre VII avec les opérateurs compacts,
dont on sait que la théorie spectrale est proche de celle faite en dimension finie (théorie de Riesz) et le théorème d’Ascoli-Arzela y est souvent utilisé, ainsi que la convergence quand il y a une seule valeur d’adhérence (et quand l’espace ambiant est compact), et les théorèmes de Tychonoff, Banach-Alaoglu, pour les topologies affaiblies
du chapitre IX. La connexité joue aussi un certain rôle dans cet ouvrage, notamment au chapitre V (spectre d’une isométrie) ou au chapitre X (Théorème de Runge,
exponentielles dans l’espace des fonctions continues, frontière du spectre, composantes connexes du groupe des éléments inversibles dans une algèbre de Banach,
etc.). Enfin, la complétude est évidemment centrale tout au long de ces chapitres,
VII
L’idée de cet ouvrage s’est peu à peu dégagée à l’occasion de rencontres (colloques,
soutenances de thèse, GDR, etc.) entre trois amis universitaires travaillant, à des titres
divers, dans le domaine de l’analyse fonctionelle. Cette Analyse dite fonctionnelle interagit avec de nombreux autres domaines des mathématiques, avec un enrichissement
mutuel. C’est ce que nous avons tenté de mettre en évidence tout au long de ces dix
chapitres d’exercices corrigés et commentés, en ayant le souci de nous maintenir à un
niveau moyen qui est celui d’une première année de Master, c’est-à-dire celui du M1,
et de rendre l’utilisation de cet ouvrage commode pour un lecteur motivé et ayant un
niveau initial équivalent à celui du L3. Illustrons par quelques exemples les interactions
mentionnées plus haut :
1. Convexité :
Celle-ci apparaît notamment avec le théorème de Hahn-Banach. Ce dernier débouche
sur la construction de moyennes invariantes (« moyennabilité » du groupe des entiers)
aussi appelées moyennes de Banach au chapitre III. Ces moyennes à leur tour sont
utilisées au chapitre V pour démontrer le théorème de similarité de Nagy. Ce théorème intervient lui-même au chapitre X pour donner une caractérisation complète des
opérateurs ayant une « grande » algèbre de Deddens associée. Un autre aspect de la
convexité est la notion de point extrémal, présente au chapitre IX (avec le théorème
de Krein-Milman sous-jacent) et au chapitre VI avec la caractérisation des points
extrémaux de la boule unité des opérateurs sur un Hilbert, qui fait apparaître des
phénomènes nouveaux intéressants (co-isométries vraies) en dimension infinie.
2. Topologie :
L’utilisation de la compacité apparaît au chapitre VII avec les opérateurs compacts,
dont on sait que la théorie spectrale est proche de celle faite en dimension finie (théorie de Riesz) et le théorème d’Ascoli-Arzela y est souvent utilisé, ainsi que la convergence quand il y a une seule valeur d’adhérence (et quand l’espace ambiant est compact), et les théorèmes de Tychonoff, Banach-Alaoglu, pour les topologies affaiblies
du chapitre IX. La connexité joue aussi un certain rôle dans cet ouvrage, notamment au chapitre V (spectre d’une isométrie) ou au chapitre X (Théorème de Runge,
exponentielles dans l’espace des fonctions continues, frontière du spectre, composantes connexes du groupe des éléments inversibles dans une algèbre de Banach,
etc.). Enfin, la complétude est évidemment centrale tout au long de ces chapitres,
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