Chapitre I • Espaces normés
Ceci implique que
Pour tout n ∈ N
∗
, | f j (n) − f k (n)| ≤ α
−1
n ε.
(I.5)
La suite ( f m (n)) m∈N ∗ est alors de Cauchy dans C, donc converge vers une limite notée
f (n) quand m → ∞. Et le passage à la limite dans (I.5) quand j → +∞ et k ≥ M(ε)
donne successivement
α n | f (n) − f k (n)| ≤ ε, f − f k ∈
∞
α , f ∈
∞
α , f − f k ∞
α
≤ ε.
Ceci montre que
∞
α est un espace de Banach.
(2) (i) Inclusion.
Soit f = ( f (n)) n∈N ∗ ∈
p
1 . On a lim n→∞ f (n) = 0, d’où f ∈
∞
1 , ce qui implique f ∈
q
1 car
∞
n=1
| f (n)|
q
=
∞
n=1
| f (n)|
p
| f (n)|
q−p
≤ ( f ∞,1 )
q−p
∞
n=1
| f (n)|
p
< ∞.
Plus précisément, l’inégalité (I.13) qui suit, avec α =
p
q < 1, montre que
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
| f (n)|
q
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
p
q
≤
∞
n=1
| f (n)|
p
, soit f q ≤ ≤ f p .
(ii) L’inclusion est stricte.
Pour le montrer, choisissons f = ( f (n)) n∈N ∗ définie par f (n) = n
−1/ p
, n ≥ 1. Alors
f ∈
q
1 \
p
1 ; en particulier, f ∈
∞
1 \
p
1 .
(3) c 0,α est un sous-espace vectoriel normé de
∞
α muni de la norme ∞,α . Comme
∞
α est un espace de Banach, il suffit de montrer que c 0,α est fermé dans
∞
α .
Soit donc f ∈ c 0,α et ε > 0. Il existe g ∈ c 0,α telle que f − g ∞,α ≤ ε et un entier M(ε)
tel que
n ≥ M(ε) =⇒ α n |g(n)| ≤ ε.
L’inégalité triangulaire montre alors que
n ≥ M(ε) =⇒ α n | f (n)| ≤ α n | f (n) − g(n)| + α n |g(n)| ≤ ≤ f − g
∞
α
+ α n |g(n)|
≤ ε + α n |g(n)| ≤ 2ε,
si bien que α n f (n) → 0 et que f ∈ c 0,α . CQFD
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