2. Solutions
Comme (x ⊗ f )(x) = x, x ⊗ f est non-nul ; il est alors inversible donc surjectif. Ceci
signifie que E = Vect(x), et E est un espace vectoriel de dimension 1 admettant pour
base le vecteur x.
Dans ce cas, une application linéaire T est donnée par T x = zx, z ∈ C donc T = zI où I
est l’identité de L(E). On retrouve donc L(E) = CI.
Exercice X.3
(1) (i) Clairement, A T est une sous-algèbre fermée de A. D’autre part, toute sousalgèbre de A contenant T contient A T . C’est alors la plus petite sous-algèbre fermée de
A contenant A, autrement dit c’est l’algèbre B.
(ii) Soit P, P(z) =
n
i=0 a i z
i , le polynôme minimal de T . Puisque T est inversible,
0 σ(T ) et P(0) = a 0 0. Donc
0 = P(T ) = a 0 I +
n
i=1
a i T
i
= a 0 I + T
n
i=1
a i T
i−1
.
On obtient,
T
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −
1
a 0
n
i=1
a i T
i−1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −
1
a 0
n
i=1
a i T
i−1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ T = I.
Donc T
−1
= −
1
a 0
n
i=1 a i T
i−1
= Q(T ) ∈ A T .
(2) (i) Pour x =
+∞
−∞ x n e n ∈ H, T x =
+∞
−∞ x n e n+1 , donc
x
2
=
+∞
−∞ |x n |
2
= T x
2
.
T est une isométrie, donc est injective à image fermée. Son image contient tous les e n ,
donc T est surjective, et par suite inversible, avec
y =
+∞
−∞
y n e n ∈ H =⇒ T
−1
y =
+∞
−∞
y n e n−1 .
(X.2)
(ii) On remarque que si M ⊆ H est un sous-espace invariant par T , au sens où
T (M) ⊆ M, alors pour tout S ∈ A T , S (M) ⊆ M.
On a T (E n ) ⊆ E n . Par contre, E n n’est pas invariant par T
−1 . En effet, e n ∈ E n et par
(X.2), T
−1 e n = e n−1 E n . Alors E n n’est pas invariant par T
−1 et donc T
−1
A T .
(3) Supposons que 0 ∈ Ω ∞ , alors par le théorème de Runge, il existe une suite (P n ) n
de polynômes tels que P n (w) converge uniformément vers w
−1 dans un voisinage ouvert
V du spectre σ(T ) de T . Soit γ un lacet d’image contenue dans V \ σ(T ) entourant une
fois chaque point de σ(T ). Alors, on sait que, pour tout z ∈ σ(T ), on a
P n (z) =
1
2iπ
γ
P n (w)
1
w − z
dw et P n (T ) =
1
2iπ
γ
P n (w)(wI − T )
−1 dw.
(X.3)
z
−1
=
1
2iπ
γ
w
−1 1
w − z
dw et T
−1
=
1
2iπ
γ
w
−1 (wI − T )
−1 dw.
(X.4)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
247
Comme (x ⊗ f )(x) = x, x ⊗ f est non-nul ; il est alors inversible donc surjectif. Ceci
signifie que E = Vect(x), et E est un espace vectoriel de dimension 1 admettant pour
base le vecteur x.
Dans ce cas, une application linéaire T est donnée par T x = zx, z ∈ C donc T = zI où I
est l’identité de L(E). On retrouve donc L(E) = CI.
Exercice X.3
(1) (i) Clairement, A T est une sous-algèbre fermée de A. D’autre part, toute sousalgèbre de A contenant T contient A T . C’est alors la plus petite sous-algèbre fermée de
A contenant A, autrement dit c’est l’algèbre B.
(ii) Soit P, P(z) =
n
i=0 a i z
i , le polynôme minimal de T . Puisque T est inversible,
0 σ(T ) et P(0) = a 0 0. Donc
0 = P(T ) = a 0 I +
n
i=1
a i T
i
= a 0 I + T
n
i=1
a i T
i−1
.
On obtient,
T
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −
1
a 0
n
i=1
a i T
i−1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −
1
a 0
n
i=1
a i T
i−1
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ T = I.
Donc T
−1
= −
1
a 0
n
i=1 a i T
i−1
= Q(T ) ∈ A T .
(2) (i) Pour x =
+∞
−∞ x n e n ∈ H, T x =
+∞
−∞ x n e n+1 , donc
x
2
=
+∞
−∞ |x n |
2
= T x
2
.
T est une isométrie, donc est injective à image fermée. Son image contient tous les e n ,
donc T est surjective, et par suite inversible, avec
y =
+∞
−∞
y n e n ∈ H =⇒ T
−1
y =
+∞
−∞
y n e n−1 .
(X.2)
(ii) On remarque que si M ⊆ H est un sous-espace invariant par T , au sens où
T (M) ⊆ M, alors pour tout S ∈ A T , S (M) ⊆ M.
On a T (E n ) ⊆ E n . Par contre, E n n’est pas invariant par T
−1 . En effet, e n ∈ E n et par
(X.2), T
−1 e n = e n−1 E n . Alors E n n’est pas invariant par T
−1 et donc T
−1
A T .
(3) Supposons que 0 ∈ Ω ∞ , alors par le théorème de Runge, il existe une suite (P n ) n
de polynômes tels que P n (w) converge uniformément vers w
−1 dans un voisinage ouvert
V du spectre σ(T ) de T . Soit γ un lacet d’image contenue dans V \ σ(T ) entourant une
fois chaque point de σ(T ). Alors, on sait que, pour tout z ∈ σ(T ), on a
P n (z) =
1
2iπ
γ
P n (w)
1
w − z
dw et P n (T ) =
1
2iπ
γ
P n (w)(wI − T )
−1 dw.
(X.3)
z
−1
=
1
2iπ
γ
w
−1 1
w − z
dw et T
−1
=
1
2iπ
γ
w
−1 (wI − T )
−1 dw.
(X.4)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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