Chapitre VII • Opérateurs compacts
(2) (i) Si AB = I.
Notons I − A = K. Im(A) ⊇ Im(AB) = E donc I − K est surjectif. Alors, par (P 7.14),
A = I − K est injectif donc inversible. Son inverse à droite B est aussi son inverse à
gauche et BA = I.
(ii) Si CA = I.
A = I − K est injectif donc surjectif, par (P 6.14). Il est inversible et AC = I.
Exercice VII.23
(1) C’est une conséquence évidente de la définition de Lip α : on a
f ∈ M et (x, y) ∈ J =⇒ |L x,y ( f )| ≤ p α ( f ) < ∞.
(2) Puisque M est fermé dans E, c’est un espace de Banach, et on peut appliquer le
théorème de la borne uniforme de Banach-Steinhaus (P 2.13) à la famille (L x,y ) (x,y)∈J de
formes linéaires continues sur M. D’après (1), on a donc
sup
(x,y)∈J
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ sup
f ∈M, f ∞ ≤1
|L x,y ( f )|
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
de f
= C < ∞.
En décodant tranquillement ces symboles, cela veut simplement dire que
f ∈ M, f ∞ ≤ 1 et (x, y) ∈ J =⇒ | f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|
α
.
Notons que cette inégalité a trivialement lieu si x = y. On en déduit l’inégalité de
l’énoncé par homogénéité de la norme.
(3) (i) On sait reconnaître un ensemble relativement compact dans E par l’usage du
théorème d’Ascoli (P 2.3). Montrons donc que pour B les hypothèses de ce théorème
sont satisfaites. D’abord, B est équicontinue, car d’après (2) :
Pour toute f ∈ B, pour tous x, y ∈ [−1, 1], | f (x) − f (y) |≤ C|x − y|
α
.
Ensuite, par définition
f ∈ B =⇒ pour tout x ∈ [−1, 1], | f (x)| ≤ 1.
La seconde condition du théorème d’Ascoli est donc vérifiée, et B est relativement compacte dans E. Comme elle est fermée, elle est compacte.
(ii) La boule unité de M est compacte. D’après (P 7.15) (théorème de F. Riesz),
M doit être de dimension finie.
(4) (i) Soit f ∈ M. Posons a = f ∞ et b = sup 0≤k≤N,k∈N | f (
k
N )|. Soit x ∈ I. Il est clair
qu’il existe un entier 0 ≤ k ≤ N tel que l’on ait |x −
k
N | ≤
1
2N (Un dessin peut aider). On
voit alors que
| f (x)| ≤ | f (x) − f
k
N
| + | f
k
N
| ≤ aC|x −
k
N
|
α
+ b ≤ aC
1
2N
α
+ b = aδ + b,
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(2) (i) Si AB = I.
Notons I − A = K. Im(A) ⊇ Im(AB) = E donc I − K est surjectif. Alors, par (P 7.14),
A = I − K est injectif donc inversible. Son inverse à droite B est aussi son inverse à
gauche et BA = I.
(ii) Si CA = I.
A = I − K est injectif donc surjectif, par (P 6.14). Il est inversible et AC = I.
Exercice VII.23
(1) C’est une conséquence évidente de la définition de Lip α : on a
f ∈ M et (x, y) ∈ J =⇒ |L x,y ( f )| ≤ p α ( f ) < ∞.
(2) Puisque M est fermé dans E, c’est un espace de Banach, et on peut appliquer le
théorème de la borne uniforme de Banach-Steinhaus (P 2.13) à la famille (L x,y ) (x,y)∈J de
formes linéaires continues sur M. D’après (1), on a donc
sup
(x,y)∈J
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ sup
f ∈M, f ∞ ≤1
|L x,y ( f )|
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
de f
= C < ∞.
En décodant tranquillement ces symboles, cela veut simplement dire que
f ∈ M, f ∞ ≤ 1 et (x, y) ∈ J =⇒ | f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|
α
.
Notons que cette inégalité a trivialement lieu si x = y. On en déduit l’inégalité de
l’énoncé par homogénéité de la norme.
(3) (i) On sait reconnaître un ensemble relativement compact dans E par l’usage du
théorème d’Ascoli (P 2.3). Montrons donc que pour B les hypothèses de ce théorème
sont satisfaites. D’abord, B est équicontinue, car d’après (2) :
Pour toute f ∈ B, pour tous x, y ∈ [−1, 1], | f (x) − f (y) |≤ C|x − y|
α
.
Ensuite, par définition
f ∈ B =⇒ pour tout x ∈ [−1, 1], | f (x)| ≤ 1.
La seconde condition du théorème d’Ascoli est donc vérifiée, et B est relativement compacte dans E. Comme elle est fermée, elle est compacte.
(ii) La boule unité de M est compacte. D’après (P 7.15) (théorème de F. Riesz),
M doit être de dimension finie.
(4) (i) Soit f ∈ M. Posons a = f ∞ et b = sup 0≤k≤N,k∈N | f (
k
N )|. Soit x ∈ I. Il est clair
qu’il existe un entier 0 ≤ k ≤ N tel que l’on ait |x −
k
N | ≤
1
2N (Un dessin peut aider). On
voit alors que
| f (x)| ≤ | f (x) − f
k
N
| + | f
k
N
| ≤ aC|x −
k
N
|
α
+ b ≤ aC
1
2N
α
+ b = aδ + b,
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