Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
(i) Si dim ker(T ) ≤ dim ker(T
∗ ), nous pouvons construire une isométrie V 1 :
ker(T ) → ker(T
∗ ). Dans ce cas, W = V ⊕ V 1 est une isométrie et l’on a T = W|T |.
(ii) Si dim ker(T
∗ ) ≤ dim ker(T ), nous pouvons construire une isométrie V
∗
1 :
ker(T
∗ ) → ker(T ). Dans ce cas, W
∗
= V
∗
⊕ V
∗
1 est une isométrie, W est une co-isométrie
et l’on a T = W|T |.
(iii) Si dim ker(T
∗ ) = dim ker(T ), alors par (i) et (ii) on peut prendre W unitaire.
Exercice VI.14
(1) (a) Puisque Im(T ) est fermée, l’opérateur T 0 = T : H → Im(T ) est inversible
et il existe une projection P sur Im(T ). Soit S = (T 0 )
−1 P. Alors S ∈ L(H) et on vérifie
facilement que S T = I.
(b) se déduit de (a) par passage à l’adjoint (cf. aussi Ex. IV.9 qui traite le cas
banachique, avec des conclusions moins fortes en général).
(2) Il résulte de l’Ex. VI.13 (5) que l’on a :
∀T ∈ L(H), ∃W ∈ L(H) tel que T = W|T |,
avec W une isométrie ou une co-isométrie. D’après (1), W est inversible à droite ou à
gauche.
Soit, pour n ≥ 1, T n = W(|T | +
1
n I)
de f
= WR n . Puisque R n est inversible, T n est inversible
à droite ou à gauche, selon que W est inversible à droite ou à gauche. En effet, si W a un
inverse à gauche V, on voit que
R
−1
n VT n = R
−1
n VWR n = R
−1
n R n = I,
et on traite de même le cas où W a un inverse à droite. De plus, T n → T . D’où la densité
de l’ensemble des opérateurs inversibles à droite ou à gauche dans L(H).
(3) Supposons que dim H est finie et soit T ∈ L(H). Si T n’est pas inversible,
0 ∈ σ(T ) est isolé puisque le spectre de T est fini. Soit donc (λ n ) n∈N ∗ une suite de points
de l’ensemble résolvant de T convergeant vers 0. Alors T − λ n I est inversible et converge
vers T . Ceci montre que l’ensemble des opérateurs inversibles est dense dans L(H) .
Réciproquement, supposons que la dimension de H est infinie et soit (e n ) n≥1 une base
orthonormée de H. Soit S : H → H l’opérateur défini sur les éléments de la base par
S e n = e n+1 . Alors S
∗ vérifie S
∗ e 1 = 0 et S
∗ e n = e n−1 pour n ≥ 2. S est une isométrie et
donc S
∗
= S = 1. D’autre part, on a S
∗ S = I (S est une fois de plus le fameux shift
unilatéral !).
Montrons que S n’est pas dans l’adhérence de l’ensemble G des inversibles, et qu’il est
même à distance d = 1 de G. Supposons qu’il existe T ∈ L(H) inversible tel que l’on ait
S − T = α < 1. Alors :
I − S
∗ T = S
∗ (S − T ) ≤ ≤S
∗
S − T = α < 1.
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(i) Si dim ker(T ) ≤ dim ker(T
∗ ), nous pouvons construire une isométrie V 1 :
ker(T ) → ker(T
∗ ). Dans ce cas, W = V ⊕ V 1 est une isométrie et l’on a T = W|T |.
(ii) Si dim ker(T
∗ ) ≤ dim ker(T ), nous pouvons construire une isométrie V
∗
1 :
ker(T
∗ ) → ker(T ). Dans ce cas, W
∗
= V
∗
⊕ V
∗
1 est une isométrie, W est une co-isométrie
et l’on a T = W|T |.
(iii) Si dim ker(T
∗ ) = dim ker(T ), alors par (i) et (ii) on peut prendre W unitaire.
Exercice VI.14
(1) (a) Puisque Im(T ) est fermée, l’opérateur T 0 = T : H → Im(T ) est inversible
et il existe une projection P sur Im(T ). Soit S = (T 0 )
−1 P. Alors S ∈ L(H) et on vérifie
facilement que S T = I.
(b) se déduit de (a) par passage à l’adjoint (cf. aussi Ex. IV.9 qui traite le cas
banachique, avec des conclusions moins fortes en général).
(2) Il résulte de l’Ex. VI.13 (5) que l’on a :
∀T ∈ L(H), ∃W ∈ L(H) tel que T = W|T |,
avec W une isométrie ou une co-isométrie. D’après (1), W est inversible à droite ou à
gauche.
Soit, pour n ≥ 1, T n = W(|T | +
1
n I)
de f
= WR n . Puisque R n est inversible, T n est inversible
à droite ou à gauche, selon que W est inversible à droite ou à gauche. En effet, si W a un
inverse à gauche V, on voit que
R
−1
n VT n = R
−1
n VWR n = R
−1
n R n = I,
et on traite de même le cas où W a un inverse à droite. De plus, T n → T . D’où la densité
de l’ensemble des opérateurs inversibles à droite ou à gauche dans L(H).
(3) Supposons que dim H est finie et soit T ∈ L(H). Si T n’est pas inversible,
0 ∈ σ(T ) est isolé puisque le spectre de T est fini. Soit donc (λ n ) n∈N ∗ une suite de points
de l’ensemble résolvant de T convergeant vers 0. Alors T − λ n I est inversible et converge
vers T . Ceci montre que l’ensemble des opérateurs inversibles est dense dans L(H) .
Réciproquement, supposons que la dimension de H est infinie et soit (e n ) n≥1 une base
orthonormée de H. Soit S : H → H l’opérateur défini sur les éléments de la base par
S e n = e n+1 . Alors S
∗ vérifie S
∗ e 1 = 0 et S
∗ e n = e n−1 pour n ≥ 2. S est une isométrie et
donc S
∗
= S = 1. D’autre part, on a S
∗ S = I (S est une fois de plus le fameux shift
unilatéral !).
Montrons que S n’est pas dans l’adhérence de l’ensemble G des inversibles, et qu’il est
même à distance d = 1 de G. Supposons qu’il existe T ∈ L(H) inversible tel que l’on ait
S − T = α < 1. Alors :
I − S
∗ T = S
∗ (S − T ) ≤ ≤S
∗
S − T = α < 1.
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