Chapitre VI • Opérateurs continus entre espaces de Hilbert
Exercice VI.7
(1) Notons, pour n > m, A nm = A n − A m . Alors, les hypothèses nous donnent
0 ≤ A nm ≤ A n ≤ B. On peut appliquer les résultats des Ex. VI.5 (2) et Ex. VI.6 (1),
et l’on a :
A nm x
2
≤ ≤A nm x, xA nm = A nm x, xw(A nm ) ≤ ≤A nm x, xw(A n )
≤ ≤A nm x, xw(B) = A nm x, xB.
Nous obtenons donc l’inégalité demandée :
∀x ∈ H, A n x − A m x
2
≤ ||A n x, x − −A m x, x||B.
(VI.9)
Pour x ∈ H, la suite de réels
A n x, x
n≥1 est croissante, majorée. En effet,
m < n =⇒ ⇒A m x, x ≤ ≤A n x, x ≤ ≤Bx, x. Cette suite est donc convergente. Par (VI.9),
la suite (A n x) n est alors de Cauchy dans H, et par suite converge vers une limite Ax.
Puisque la limite est une opération linéaire, A est linéaire. D’autre part,
Ax, y = lim
n→+∞
A n x, y = lim
n→+∞
A n x, y
= lim
n→+∞
x, A n y = x, lim
n→+∞
A n y = x, Ay.
Donc A est auto-adjoint ≥ 0. De plus, A n x, x ≤ ≤Bx, x implique A ≤ B.
(3) Soit H un espace de Hilbert séparable de dimension infinie et (e n ) n≥1 une base
orthonormée. Pour tout x ∈ H, on peut écrire x =
∞
n=1 x, e n e n .
Soit A n x =
n
i=1 x, e i e i . Nous voyons que
A n x, x =
n
i=1
||x, e i |
2
≤ ≤x
2
= Ix, x.
D’où A 1 ≤ A 2 ≤ . . . ≤ I et lim n→∞ A n x = x = Ix. Par contre A n ne converge pas
vers I dans L(H), sinon I serait compact comme limite d’opérateurs de rang fini, et la
dimension de H serait finie. Ou bien on voit directement que
I − A n ≥ ≥e n+1 − A(e n+1 ) = e n+1 = 1.
Exercice VI.8
(1) (i) C’est évident.
(ii) Soit x ∈ H et n ∈ N. Nous devons montrer la positivité de S
n x, x. Or
nous avons
n = 2p =⇒ ⇒S
n x, x = S
p x, S
p x = S
p x
2
≥ 0
n = 2p + 1 =⇒ ⇒S
n x, x = S S
p x, S
p x
de f
= S y p , y p ≥ 0.
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