2. Solutions
(2) Pour A ∈ L(H), on peut écrire
A
∗ A − AA
∗
= (T − iS )(T + iS ) − (T + iS )(T − iS ) = −2i(S T − T S )
donc [A
∗ A = AA
∗ ] ⇔ [T S = S T ].
(3) Si A est normal, alors
AA
∗
= A
∗ A = (T + iS )(T − iS ) = T
2
+ S
2
.
(VI.4)
(i) Si A est inversible, A
∗ l’est aussi, et il en est de même du produit A
∗ A. T
2
+ S
2
est donc inversible.
(ii) Si T
2
+ S
2 est inversible, en multipliant (VI.4) à gauche et à droite par
(T
2
+ S
2 )
−1 , on obtient
((T
2
+S
2 )
−1 A
∗ )A = I et A(A
∗ (T
2
+S
2 )
−1 ) = I. Ceci montre que A est inversible, d’inverse
donné par A
∗ (T
2
+ S
2 )
−1 .
Exercice VI.3
(1) (i) Si T x = λx, on a
T x, x = λx
2
et ||T x, x| = |λ| |x
2
= λx x.
(ii) Si, pour x 0, ||T x, x| = T x x, on utilise (P 5.4) qui exprime qu’on
a égalité dans Cauchy-Schwarz si et seulement si les deux vecteurs sont colinéaires. Il
existe donc λ ∈ C tel que T x = λx.
(2) (i) Si μ est une valeur propre telle que |μ| = T , soit x un vecteur propre normé ;
T x = μx, x = 1. Alors ||T x, x| = |μ| |x
2
= |μ| = T .
(ii) Si, pour x ∈ H avec x = 1, on a ||T x, x| = T , l’égalité étudiée en (1) est
vérifiée et x est vecteur propre de T . L’équation T x = λx montre que |λ| = T .
(3) Les hypothèses faites sur (α n ) n∈N ∗ nous permettent de considérer la suite
α = (α 1 , . . . , α n , . . .) comme un vecteur normé de H =
2 .
T ∈ L(H) avec T = 1 (voir l’Ex. IV.3) et on a T α, α =
n≥1 α n α n+1 avec
α
2
=
n≥1 α
2
n = 1 et T α
2
=
n≥2 α
2
n ≤ 1. D’où
n≥1
α n α n+1 = T α, α ≤ ≤T α α ≤ 1.
Reste à montrer l’inégalité stricte. Mais si jamais T α, α = 1, nous avons
1 = T α, α ≤ ≤T α ≤ 1, et T α = 1. On peut donc appliquer (2) ; α est vecteur propre
de T pour une valeur propre μ et μ = T = 1.
Par suite, α n+1 = α n pour tout entier n ≥ 1. Ceci est incompatible avec l’appartenance
de α à
2 . On ne peut donc pas obtenir
n≥1 α n α n+1 = 1 .
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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