Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
En échangeant l’ordre d’intégration, on obtient
T
n+1 f (x) =
x
0
f (u)
x
u
(t − u)
n−1
(n − 1)!
dt
du =
x
0
(x − u)
n
n!
f (u)du.
(ii) On a |T
n f (x)| ≤
x
0
(x−t)
n−1
(n−1)! | f (t)|dt ≤ ≤ f ∞
x
0
(x−t)
n−1
(n−1)! ≤
x
n
n! f ∞ .
D’où T
n
≤
1
n! .
Maintenant, pour f 0 (t) = 1 pour tout t ∈ [0, 1], on obtient
T
n f 0 (x) =
x
0
(x − t)
n−1
(n − 1)!
dt =
x
n
n!
,
d’où T
n f 0 ∞ =
1
n! , et finalement T
n
=
1
n! .
(2) On a
n≥1 T
n
=
n≥1
1
n! = e − 1. Comme E est complet, la série
n≥1 T
n est
convergente et on a pour tout p entier :
p
n=1
T
n f (x) =
x
0
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
p
n=1
(x − t)
n−1
(n − 1)!
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ f (t)dt.
Soit S : E → E définie par, S f (x) =
x
0
e
x−t f (t)dt. Clairement, S ∈ L(E) et de plus
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ S −
p
n=1
T
n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ f (x)
≤
x
0
|e
x−t
−
p
n=1
(x − t)
n−1
(n − 1)!
)| | f (t)|dt
≤ ≤ f ∞
x
0
|e
x−t
−
p
n=1
(x − t)
n−1
(n − 1)!
)|dt
d’où, en faisant le changement de variable u = x − t, l’inégalité
|
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ S −
p
n=1
T
n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ f (x)| ≤ ≤ f ∞
x
0
|e
u
−
p
n=1
u
n−1
(n − 1)!
|du
≤ ≤ f ∞ sup
0≤u≤1
|e
u
−
p
n=1
u
n−1
(n − 1)!
|.
Donc, S −
p
n=1 T
n
≤ sup 0≤u≤1 |e
u
−
p−1
n=0
u
n
n!
|.
Comme la série
n≥0
u
n
n! converge uniformément vers e
u sur tout compact de R, il vient
S =
n≥1 T
n en faisant tendre p vers l’infini.
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