Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
On constate en effet que
T (P) − λP = −
∞
n=1
T
n Q
λ n +
∞
n=0
T
n Q
λ n = Q.
Finalement, σ sur (T ) = ∅ et σ(T ) = {0}. Comparer à l’Ex. IV.12.
Exercice IV.6
(1) (i) Supposons T et S inversibles, alors le produit T S est inversible et l’on a
(T S )
−1
= S
−1 T
−1 .
Maintenant si T S = S T est inversible, alors il existe A tel que A(T S ) = (T S )A = I.
D’où (AT )S = S (T A) = I, (AS )T = T (S A) = I et par suite T et S sont inversibles,
ayant un inverse à droite et un inverse à gauche.
(ii) Dans l’exercice IV.4 précédent, on a T S = I donc le produit T S est inversible,
mais ni S ni T ne le sont.
(2) Soit z 1 , z 2 , . . . , z n les racines du polynôme P(z) − w. Alors nous avons
P(z) − w = c(z − z 1 )(z − z 2 ) . . . (z − z n ) et par suite
P(T ) − wI = c(T − z 1 I)(T − z 2 I) . . . (T − z n I).
En effet, si les σ k =
1≤i 1 symétriques élémentaires des racines de
Q(z)
de f
= P(z) − w =
n
k=0
a k z
k
= c(z
n
− σ 1 z
n−1
+ σ 2 z
n−2
± . . .),
nous avons (par définition pour les deux premières égalités)
Q(T ) =
n
k=0
a k T
k
= c(T
n
− σ 1 T
n−1
+ σ 2 T
n−2
± . . .) = c(T − z 1 I) . . . (T − z n I),
la dernière égalité s’obtenant de droite à gauche par un développement du produit
(T − z 1 I) . . . (T − z n I).
Comme les T −z k I, k = 1, . . . , n commutent, il résulte de (1) que P(T )−wI est inversible
si et seulement si T − z k I est inversible pour k = 1, . . . , n.
Donc si w ∈ σ(P(T )), P(T ) − wI n’est pas inversible, et il existe z k tel que T − z k I ne soit
pas inversible (i.e. z k ∈ σ(T )). Puisque z k est racine de P(z) − w, on a P(z k ) = w. Ceci
montre que σ(P(T )) ⊆ P(σ(T )).
Pour l’autre inclusion, soit w = P(z
) ∈ P(σ(T )) avec z
∈ σ(T ). Alors P(z
) − w = 0
et donc z
= z k , une des racines du polynôme P(z) − w. Il en résulte que P(T ) − w =
c(T −z 1 I)(T −z 2 I) . . . (T −z
I) . . . (T −z n I). Comme T −z
I n’est pas inversible, d’après (1)
P(T ) − wI ne l’est pas non plus, et ainsi w ∈ σ(P(T )).
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