Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
Pour x =
N
n=1 x n e n ,
T 0 x =
N
n=2
x n e n−1 et T 0 x ≤
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=2
|x n |
2
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/2
≤ ≤x.
L’application T 0 est donc continue, et se prolonge en une application T :
2
→
2 .
D’autre part, pour tout n ≥ 1, T S e n = e n . Donc T S = I et d’ailleurs T = S
∗ comme
c’est le cas pour toute isométrie S .
Si S était inversible, T le serait aussi et T
−1
= S . Mais T n’est pas injective, puisque
T e 1 = 0 !
(3) Soit x =
∞
n=1 x n e n tel que S x − μx = 0. Cela entraîne :
0 = S x − μx =
∞
n=1
(x n e n+1 − μx n e n ) =
∞
n=2
(x n−1 − μx n )e n − μx 1 e 1 .
(IV.5).
Si μ = 0, il faut annuler chaque x n , et la seule solution est x = 0.
Si μ 0, on doit avoir x 1 = 0 puis tous les autres x n nuls. La seule solution est encore
x = 0. S n’admet donc aucune valeur propre.
(4) Pour λ ∈ C, p ∈ N, considérons l’équation S x − λx = e p . Puisque par (IV.5),
S − λI est injectif, elle a au plus une solution.
(i) λ = 0. Si p = 1, il n’y a pas de solution. Si p > 0, la solution est donnée par
x = e p−1 .
(ii) λ 0.
e p = S x − λx =
∞
n=1
(x n e n+1 − λx n e n ) =
∞
n=2
(x n−1 − λx n )e n − λx 1 e 1 .
(IV.6)
Si p = 1 alors les x n vérifient
x 1 = −λ
−1
, ∀n > 1, x n = λ
−1 x n−1 = −λ
−n
.
(IV.7)
La série de terme général |x n |
2 est convergente si et seulement si |λ| > 1. Dans ce cas, la
solution est donnée par x = −
∞
n=1 λ
−n e n .
Si p ≥ 2, les x n vérifient
⎧
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
x n−1 − λx n = 0, donc x n = 0
sin < p
x p−1 − λx p = 1, donc x p = −λ
−1 si n = p
x n = λ
−1 x n−1 = −λ
−(n−p+1)
si n > p
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