Chapitre IV • Opérateurs continus entre espaces normés
Remarquons d’abord que pour tout n, λ n 0. Soit y = (y n ) n ∈ E et x = (
y n
λ n
) n . Alors
pour tout n, on a |
y n
λ n
|
2
≤
1
a 2 |y n |
2 , d’où x ∈ E et T x = y. Ceci montre que T est surjective
et donc inversible et T
−1
y = x avec y = (y n ) n ∈ E et x = (
y n
λ n
) n ∈ E .
(3) Supposons λ p = 0 pour un entier p. On note e p la suite dont le seul élément non
nul est de rang p et vaut 1. Alors T e p = 0 et T n’est pas injective. Elle n’est pas non plus
surjective, car il facile de voir que si (x n ) n ∈ Im(T ) alors x p = 0, si bien que e p Im(T ).
On a Im(T ) ⊆ {(x n ) n ∈ E; x p = 0}
de f
= F p E. Pour montrer que Im(T ) n’est pas dense
dans E, il suffit de montrer que F p est fermé dans E. Soit pour cela f : E → C la forme
linéaire définie par f ((x n ) n ) = x p . Elle est continue, car | f ((x n ) n )| = |x p | ≤ ≤(x n ) n 2 . Donc
F p = ker( f ) est fermé dans E.
(4) (i) Si tous les λ n sont non nuls, l’étude précédente montre que si y = T x, alors
x n = (λ n )
−1
y n ; T est donc injective. Elle montre aussi que chaque e n , image de (λ n )
−1 e n ,
est dans Im(T ), qui est donc dense dans E.
T n’est pas surjective car sinon, par le théorème d’isomorphisme de Banach, T
−1 serait
continue. Or, d’après (1), on aurait
T
−1
= sup
n
1
|λ n |
=
1
inf n |λ n |
= +∞!
(5) ∀λ ∈ C, ∀x = (x n ) n ∈ E, (T − λI)x = z, avec z n = (λ n − λ)x n .
Notons S = T − λI, μ n = λ n − λ. La suite (μ n ) n∈N ∗ est bornée. Les résultats des questions
précédentes sont donc applicables.
Si λ = λ p pour un p, alors λ est une valeur propre de T (puisque S n’est pas injective,
d’après (3)).
Soit Λ = {λ n , n ∈ N ∗ }; ∀λ ∈ Λ on est soit dans le cas précédent, soit dans celui de (4)
pour la famille {μ n ; n ∈ N
∗
}. S est donc non surjective, ce qui montre que Λ ⊆ σ(T ).
Si λ Λ, d(λ, Λ) = a > 0 ; S satisfait donc aux hypothèses de (2), et elle est inversible.
On a montré que σ(T ) = Λ et σ p (T ) = {λ n ; n ∈ N
∗
}.
Exercice IV.3
Rappelons que
x p =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
|x n |
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
si p < ∞ et x ∞ = sup
n∈N ∗
(|x n |) si p = ∞.
On note e n , n ∈ N
∗ , la suite dont tous les termes sont nuls sauf celui de rang n qui vaut 1.
Pour p < ∞, les e n forment une « base » de
p , c’est-à-dire :
x = lim
N→+∞
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
x n e n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
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Remarquons d’abord que pour tout n, λ n 0. Soit y = (y n ) n ∈ E et x = (
y n
λ n
) n . Alors
pour tout n, on a |
y n
λ n
|
2
≤
1
a 2 |y n |
2 , d’où x ∈ E et T x = y. Ceci montre que T est surjective
et donc inversible et T
−1
y = x avec y = (y n ) n ∈ E et x = (
y n
λ n
) n ∈ E .
(3) Supposons λ p = 0 pour un entier p. On note e p la suite dont le seul élément non
nul est de rang p et vaut 1. Alors T e p = 0 et T n’est pas injective. Elle n’est pas non plus
surjective, car il facile de voir que si (x n ) n ∈ Im(T ) alors x p = 0, si bien que e p Im(T ).
On a Im(T ) ⊆ {(x n ) n ∈ E; x p = 0}
de f
= F p E. Pour montrer que Im(T ) n’est pas dense
dans E, il suffit de montrer que F p est fermé dans E. Soit pour cela f : E → C la forme
linéaire définie par f ((x n ) n ) = x p . Elle est continue, car | f ((x n ) n )| = |x p | ≤ ≤(x n ) n 2 . Donc
F p = ker( f ) est fermé dans E.
(4) (i) Si tous les λ n sont non nuls, l’étude précédente montre que si y = T x, alors
x n = (λ n )
−1
y n ; T est donc injective. Elle montre aussi que chaque e n , image de (λ n )
−1 e n ,
est dans Im(T ), qui est donc dense dans E.
T n’est pas surjective car sinon, par le théorème d’isomorphisme de Banach, T
−1 serait
continue. Or, d’après (1), on aurait
T
−1
= sup
n
1
|λ n |
=
1
inf n |λ n |
= +∞!
(5) ∀λ ∈ C, ∀x = (x n ) n ∈ E, (T − λI)x = z, avec z n = (λ n − λ)x n .
Notons S = T − λI, μ n = λ n − λ. La suite (μ n ) n∈N ∗ est bornée. Les résultats des questions
précédentes sont donc applicables.
Si λ = λ p pour un p, alors λ est une valeur propre de T (puisque S n’est pas injective,
d’après (3)).
Soit Λ = {λ n , n ∈ N ∗ }; ∀λ ∈ Λ on est soit dans le cas précédent, soit dans celui de (4)
pour la famille {μ n ; n ∈ N
∗
}. S est donc non surjective, ce qui montre que Λ ⊆ σ(T ).
Si λ Λ, d(λ, Λ) = a > 0 ; S satisfait donc aux hypothèses de (2), et elle est inversible.
On a montré que σ(T ) = Λ et σ p (T ) = {λ n ; n ∈ N
∗
}.
Exercice IV.3
Rappelons que
x p =
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
∞
n=1
|x n |
p
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
1/ p
si p < ∞ et x ∞ = sup
n∈N ∗
(|x n |) si p = ∞.
On note e n , n ∈ N
∗ , la suite dont tous les termes sont nuls sauf celui de rang n qui vaut 1.
Pour p < ∞, les e n forment une « base » de
p , c’est-à-dire :
x = lim
N→+∞
⎛
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
N
n=1
x n e n
⎞
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ .
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