5. SOLUTIONS DES EXERCICES SUR INTÉGRALES DOUBLES, TRIPLES ET DE SURFACE
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-fol x[!!_]y=l-x -fol x(bl-x_l)
I -
a 1 b
dxa
1 b
dx
o
n y=O
o
n
= l~b fol (axbl-x - ax) dx = l:b fol(~) x dx - l~b fol ax dx
b [
1
(a)x]l 1 [ax]l
= lnb lna-lnb b 0 - lnb lna o
I _
b
(~ _ l) _ a - 1 .
- ln b (ln a - ln b) b
ln a ln b
Le résultat sous cette forme n'est pas très satisfaisant, car on ne retrouve pas le
rôle apparemment symétrique de a et x par rapport à b et y. En poursuivant un
peu les calculs, on peut retrouver cette symétrie :
1 = (a - b) ln a + (a - 1) (ln b - ln a) = ln a ( 1 - b) - ln b ( 1 - a) .
ln a ln b (ln a - ln b)
ln a ln b (ln a - ln b)
Exercice 5.8. I = fo 3 (~ 1 e-Y
2 dy) dx
~
y2
{ o:::;x:::;3
On a I =
e- dx dy, avec 'D caractérisé par
!!'. ~
~ 1
V
3~Y~
{ o:::;y:::;1 (
En privilégiant y, la caractérisation correspondante de 'D est
0 :::; x :::; 3 y en
effet, l'équation de la droite formant l'hypoténuse du triangle 'D peut s'écrire
y=~ ~ x = 3y). D'où
I =fol dy fo3y e_Y2 dx =fol e_Y2 (fo3y dx) dy =fol e_Y2 (3y) dy
3 fo 1 - 2 3 [ - 2]
1
3 -1
3
-1
= -- (-2y)e Y dy = -- e Y = --(e - 1) = -(1 - e ).
2 0
2
0
2
2
Exercice 5.9.