366 Chap. 15. Intégrales doubles et curvilignes
La formule de Fubini permet d’intervertir l’ordre d’intégration ce qui donne
I =
1
2
1
0
x(x − 1)
1
0
∂
2 f
∂x 2 (x, y) dy
dx.
Soient x ∈ [0, 1] et g x : y →
∂
2 f
∂x 2 (x, y). La fonction g x est de classe C
2 sur [0, 1].
De plus g x (0) =
∂
2 f
∂x 2 (x, 0) = 0 puisque, pour tout x ∈ [0, 1] on a f (x, 0) = 0.
La dérivée seconde de x → f (x, 0) est nulle. On a le même résultat pour g x (1).
Cela permet d’appliquer le résultat de la première question :
1
0
g x (y) dy =
1
2
1
0
y(y − 1)g
x (y) dy =
1
2
1
0
y(y − 1)
∂
4 f
∂x 2 ∂ y 2 (x, y) dy.
On aboutit enfin à l’égalité
I =
1
4
1
0
1
0
x(x − 1)y(y − 1)
∂
4 f
∂x 2 ∂ y 2 (x, y) dy
dx.
On obtient alors comme précédemment la majoration
C
f (x, y) dx dy
M f
4
1
0
x(1 − x) dx
1
0
y(1 − y) dy
=
1
144
M f .
2.c. On s’inspire de la méthode utilisée dans le cas d’une variable et on cherche
une fonction nulle sur le bord ∂C avec
∂
4 f
∂x 2 ∂ y 2 constante. La fonction f
définie sur C par f (x, y) → x(x − 1)y(y − 1) convient et donne l’égalité
C
f (x, y) dx dy
=
M f
144
. La meilleure constante lui est donc supérieure et
finalement égale.