13.3 Exercices d’approfondissement 321
4. Soit y une solution sur ] −∞, 0 [ .
• On suppose d’abord qu’il existe un intervalle ouvert non vide sur lequel y > 0,
et on note I un tel intervalle maximal. (E) s’écrit x y
− 2y = x, donc il existe
A ∈ R tel que y(x) = −x + Ax
2 = x(Ax − 1). Cela impose Ax − 1 < 0.
∗ Si A 0, y ne s’annule pas, donc I = ] −∞, 0 [ .
∗ Si A < 0, I = ] 1/A, 0 [ , donc y 0 sur ] −∞, 1/A ] .
Par suite, pour tout x 1/ A, y = x/3 + Bx
−2 = x
−2 (B + x
3 /3). Comme y doit
s’annuler en 1/A, on obtient B = −
1
3A 3 , et la fonction obtenue est de classe C
1
sur ] −∞, 0 [ .
• On suppose pour finir que y 0 sur ] −∞, 0 [ . (E) s’écrit x y
+ 2y = x, donc
y =
x
3
+
A
x 2 , avec A 0.
Inversement, ces trois familles de solutions conviennent.
Exercice 13.11
Centrale PC 2005 K
Soient a > 0 et S le système différentiel
x
= x +
x y
a
, y
= y − x
2
.
1. On note (x, y) une solution maximale de S. Déterminer l’expression de
ax
2 + y
2 en fonction de t. Montrer que (x, y) est définie sur un intervalle non
majoré.
2. On suppose désormais a = 1. Exprimer (x, y) sous la forme (r cos u, r sin u),
où r et u sont des fonctions de classe C
1 . Déterminer r et u. En déduire une
équation polaire de l’arc décrit par la solution.
Indication de la rédaction : on utilisera le théorème de relèvement suivant :
soit f : I → R
2 de classe C
1 telle que ∀t ∈ I , f (t) 2 = 1. Alors il existe
une fonction u : I → R de classe C
1 telle que ∀t ∈ I , f (t) = (cos u(t), sin u(t)).
1. En dérivant ax
2 + y
2 , on obtient :
(ax
2 + y
2 )
= 2ax x
+ 2yy
= 2ax
2 + 2x
2 y + 2y
2
− 2yx
2 = 2(ax
2 + y
2 ) .
La fonction ax
2 + y
2 est solution de l’équation différentielle linéaire z
= 2z, donc
il existe un réel C tel que ∀t, (ax
2 + y
2 )(t) = Ce
2t .
On note I = ] b, c [ l’intervalle maximal de définition de (x, y), t 0 un point de I .
On suppose que c est fini. Le calcul précédent montre que ax
2 + y
2 est bornée sur
[ t 0 , c [ , donc x et y également. En utilisant le système, x
et y
sont également
bornées sur [ t 0 , c [ . Comme l’intervalle [ t 0 , c [ est borné et les fonctions |x
| et
|y
| sont majorées par une constante, les intégrales
c
t 0
x
et
c
t 0
y
sont absolument convergentes, donc convergentes, ce qui implique que x et y ont une limite
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit
4. Soit y une solution sur ] −∞, 0 [ .
• On suppose d’abord qu’il existe un intervalle ouvert non vide sur lequel y > 0,
et on note I un tel intervalle maximal. (E) s’écrit x y
− 2y = x, donc il existe
A ∈ R tel que y(x) = −x + Ax
2 = x(Ax − 1). Cela impose Ax − 1 < 0.
∗ Si A 0, y ne s’annule pas, donc I = ] −∞, 0 [ .
∗ Si A < 0, I = ] 1/A, 0 [ , donc y 0 sur ] −∞, 1/A ] .
Par suite, pour tout x 1/ A, y = x/3 + Bx
−2 = x
−2 (B + x
3 /3). Comme y doit
s’annuler en 1/A, on obtient B = −
1
3A 3 , et la fonction obtenue est de classe C
1
sur ] −∞, 0 [ .
• On suppose pour finir que y 0 sur ] −∞, 0 [ . (E) s’écrit x y
+ 2y = x, donc
y =
x
3
+
A
x 2 , avec A 0.
Inversement, ces trois familles de solutions conviennent.
Exercice 13.11
Centrale PC 2005 K
Soient a > 0 et S le système différentiel
x
= x +
x y
a
, y
= y − x
2
.
1. On note (x, y) une solution maximale de S. Déterminer l’expression de
ax
2 + y
2 en fonction de t. Montrer que (x, y) est définie sur un intervalle non
majoré.
2. On suppose désormais a = 1. Exprimer (x, y) sous la forme (r cos u, r sin u),
où r et u sont des fonctions de classe C
1 . Déterminer r et u. En déduire une
équation polaire de l’arc décrit par la solution.
Indication de la rédaction : on utilisera le théorème de relèvement suivant :
soit f : I → R
2 de classe C
1 telle que ∀t ∈ I , f (t) 2 = 1. Alors il existe
une fonction u : I → R de classe C
1 telle que ∀t ∈ I , f (t) = (cos u(t), sin u(t)).
1. En dérivant ax
2 + y
2 , on obtient :
(ax
2 + y
2 )
= 2ax x
+ 2yy
= 2ax
2 + 2x
2 y + 2y
2
− 2yx
2 = 2(ax
2 + y
2 ) .
La fonction ax
2 + y
2 est solution de l’équation différentielle linéaire z
= 2z, donc
il existe un réel C tel que ∀t, (ax
2 + y
2 )(t) = Ce
2t .
On note I = ] b, c [ l’intervalle maximal de définition de (x, y), t 0 un point de I .
On suppose que c est fini. Le calcul précédent montre que ax
2 + y
2 est bornée sur
[ t 0 , c [ , donc x et y également. En utilisant le système, x
et y
sont également
bornées sur [ t 0 , c [ . Comme l’intervalle [ t 0 , c [ est borné et les fonctions |x
| et
|y
| sont majorées par une constante, les intégrales
c
t 0
x
et
c
t 0
y
sont absolument convergentes, donc convergentes, ce qui implique que x et y ont une limite
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