308 Chap. 12. Équations différentielles linéaires
continue, elle est de signe constant sur R
+ , et comme f (0) = 1, f est positive,
donc f (x) 1 pour tout x ∈ R + .
4. La relation g
(x) = 2 f
2 (x) + 2(x
4 + 1) f
2 (x) montre que ∀x ∈ R + , g
(x) 2x
4 .
Il en résulte que g
(x) g
(0) + 2
x
0
x
4 dx
2x
5
5
.
On a donc g(x) g(0) +
x
6
15
= 1 +
x
6
15
, d’où ∀x ∈ R + , 0
1
g(x)
1
1 +
x
6
15
, ce
qui démontre que
1
g
est intégrable sur R + .
5. On a
+∞
x
dt
g(t)
=
+∞
0
dt
g(t)
−
x
0
dt
g(t)
. L’application u : x →
+∞
x
dt
g(t)
est
donc une primitive de −
1
g
. En particulier elle est de classe C
2 .
Il en résulte que h est de classe C
2 sur R + et on a
∀x ∈ R + , h
(x) = f
(x)
+∞
x
dt
g(t)
−
f (x)
g(x)
= f
(x)
+∞
x
dt
g(t)
−
1
f (x)
puis
h
(x) = f
(x)
+∞
x
dt
g(t)
−
f
(x)
g(x)
+
f
(x)
f 2 (x)
= (x
4 + 1)h(x)
La fonction h est donc bien une solution de (E) sur R + .
Remarque
On retrouve la méthode de variation de la constante permettant de trouver une
base de solutions à partir d’une solution ne s’annulant pas.
Exercice 12.23
Mines-Ponts MP 2006, TPE PC 2006
On considère l’équation différentielle (E) : y
+ qy = 0, où q est une fonction
continue et intégrable sur R + .
1. Montrer que si f est une solution bornée de (E), alors lim
x→+∞
f
(x) = 0.
2. Soit ( f , g) un système fondamental de solutions de (E). Démontrer que leur
Wronskien W = f g
− f
g est une constante.
3. (E) admet-elle des solutions non bornées ?