244 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
constater enfin que lim
x→0 +
f (x) = f (0). Sinon, on essaie d’appliquer le théorème
de continuité pour une intégrale à paramètre. Si on veut tenir compte du fait
que x ∈ R
+ , il faut considérer l’intégrale sur ]0, p/2] et non plus sur [0, p/2]
(il ne faut pas que x
2 + sin
2 t s’annule). On va prouver la continuité sur un
segment [0, A] où A > 0 est fixé (il faut visiblement borner x si on veut pouvoir
majorer ln(x
2 + sin
2 t). Pour tout x ∈ [0, A], la fonction t → ln(x
2 + sin
2 t) est
continue sur ]0, p/2]. Pour tout t ∈ ]0, p/2], la fonction x → ln(x
2 + sin
2 t)
est continue sur [0, A]. Si x ∈ [0, A] et t ∈ ]0, p/2], on a l’encadrement
sin
2 t x
2 + sin
2 t A
2 + sin
2 t, ce qui donne
ln sin
2 t ln(x
2 + sin
2 t) ln(A
2 + sin
2 t).
Le point délicat est le passage à la valeur absolue car on ne connaît pas
les signes de ces expressions, ni la position relative de leur valeur absolue.
On a déjà, | ln(x
2 + sin
2 t)| max(| ln sin
2 t|, | ln(A
2 + sin
2 t)|). Il n’est pas
évident de déterminer ce maximum, mais on peut le majorer par la somme
de ces deux nombres positifs. Ainsi, pour tout x ∈ [0, A] et t ∈ ]0, p/2],
| ln(x
2 + sin
2 t)| | ln sin
2 t| + | ln(A
2 + sin
2 t)|. La seconde quantité est
intégrable sur ]0, p/2] car t → ln(A
2 + sin
2 t) est continue sur [0, p/2].
Soit w(t) = ln sin
2 t = 2 ln sin t. La fonction w est continue sur ]0, p/2] et
w(t) ∼
t→0
2 ln t. Donc w est intégrable sur ]0, p/2]. Le théorème de continuité pour
les intégrales à paramètre s’applique, donc f est continue sur [0, A]. Cela permet
de retrouver f (0) = lim
x→0
(p argsh(x) − p ln 2) = −p ln 2.
Exercice 10.9
(Fonction G) Mines-Ponts PC 2006
On définit, lorsque c’est possible G(x) =
+∞
0
t
x−1 e
−t dt.
1. Déterminer l’ensemble de définition D de G.
2. Montrer que G est continue sur tout segment [a, b] ⊂ D.
3. Montrer que G est de classe C
1 puis C
2 sur tout segment [a, b] ⊂ D. En
déduire que G est de classe C
2 sur D et déterminer G
et G
.
4. Montrer que G est une fonction convexe.
5. Montrer que pour tout x > 0, on a G(x + 1) = xG(x).
6. Calculer G(1), et montrer que pour tout n ∈ N, on a G(n + 1) = n!.
7. Déterminer un équivalent de G(x) lorsque x tend vers 0. En déduire la limite
de G en 0.
8. Donner la limite de G en +∞, ainsi que celle de x → G(x)/x.
9. Donner l’allure de la courbe représentative de G.
constater enfin que lim
x→0 +
f (x) = f (0). Sinon, on essaie d’appliquer le théorème
de continuité pour une intégrale à paramètre. Si on veut tenir compte du fait
que x ∈ R
+ , il faut considérer l’intégrale sur ]0, p/2] et non plus sur [0, p/2]
(il ne faut pas que x
2 + sin
2 t s’annule). On va prouver la continuité sur un
segment [0, A] où A > 0 est fixé (il faut visiblement borner x si on veut pouvoir
majorer ln(x
2 + sin
2 t). Pour tout x ∈ [0, A], la fonction t → ln(x
2 + sin
2 t) est
continue sur ]0, p/2]. Pour tout t ∈ ]0, p/2], la fonction x → ln(x
2 + sin
2 t)
est continue sur [0, A]. Si x ∈ [0, A] et t ∈ ]0, p/2], on a l’encadrement
sin
2 t x
2 + sin
2 t A
2 + sin
2 t, ce qui donne
ln sin
2 t ln(x
2 + sin
2 t) ln(A
2 + sin
2 t).
Le point délicat est le passage à la valeur absolue car on ne connaît pas
les signes de ces expressions, ni la position relative de leur valeur absolue.
On a déjà, | ln(x
2 + sin
2 t)| max(| ln sin
2 t|, | ln(A
2 + sin
2 t)|). Il n’est pas
évident de déterminer ce maximum, mais on peut le majorer par la somme
de ces deux nombres positifs. Ainsi, pour tout x ∈ [0, A] et t ∈ ]0, p/2],
| ln(x
2 + sin
2 t)| | ln sin
2 t| + | ln(A
2 + sin
2 t)|. La seconde quantité est
intégrable sur ]0, p/2] car t → ln(A
2 + sin
2 t) est continue sur [0, p/2].
Soit w(t) = ln sin
2 t = 2 ln sin t. La fonction w est continue sur ]0, p/2] et
w(t) ∼
t→0
2 ln t. Donc w est intégrable sur ]0, p/2]. Le théorème de continuité pour
les intégrales à paramètre s’applique, donc f est continue sur [0, A]. Cela permet
de retrouver f (0) = lim
x→0
(p argsh(x) − p ln 2) = −p ln 2.
Exercice 10.9
(Fonction G) Mines-Ponts PC 2006
On définit, lorsque c’est possible G(x) =
+∞
0
t
x−1 e
−t dt.
1. Déterminer l’ensemble de définition D de G.
2. Montrer que G est continue sur tout segment [a, b] ⊂ D.
3. Montrer que G est de classe C
1 puis C
2 sur tout segment [a, b] ⊂ D. En
déduire que G est de classe C
2 sur D et déterminer G
et G
.
4. Montrer que G est une fonction convexe.
5. Montrer que pour tout x > 0, on a G(x + 1) = xG(x).
6. Calculer G(1), et montrer que pour tout n ∈ N, on a G(n + 1) = n!.
7. Déterminer un équivalent de G(x) lorsque x tend vers 0. En déduire la limite
de G en 0.
8. Donner la limite de G en +∞, ainsi que celle de x → G(x)/x.
9. Donner l’allure de la courbe représentative de G.