242 Chap. 10. Intégrales dépendant d’un paramètre
Cela donne lim
x→+∞
f (x) = 0. Il est un peu moins simple de minorer f par une
intégrale facilement calculable. On peut écrire
f (x)
+∞
1
dt
(1 + t) x+1 =
−
1
x(1 + t) x
+∞
1
=
1
x2 x
ce qui montre que f (x) tend vers +∞ lorsque x tend vers 0. On aurait pu se
passer de l’étude des limites puisqu’on demande la recherche d’équivalent dans
la question suivante.
2. Soit x > 0. En écrivant f (x) sous la forme f (x) =
+∞
1
t
t x+1 (1 + t)
, on obtient
f (x) + f (x + 1) =
+∞
1
dt
t x+1 =
1
x
. L’étude en 0 est simple puisque f (x + 1)
admet une limite finie f (1) lorsque x tend vers 0. Puisque f (x) =
1
x
− f (x + 1),
on en déduit que f (x) ∼
x→0
1
x
. L’étude en +∞ est moins immédiate. On serait tenté
d’écrire
f (x + 1) + f (x) ∼
x→+∞
f (x) + f (x) = 2 f (x)
et ainsi conclure que f (x) ∼
x→+∞
1
2x
mais la relation f (x + 1) ∼
x→+∞
f (x) n’est
pas forcément vraie (penser à e
x ou e
x
2
). On procède par encadrement. D’après la
première question, f est décroissante. Pour x > 0, on a f (x + 1) f (x), ce qui
donne, pour x > 0, 2 f (x + 1) f (x) + f (x + 1) 2 f (x). Ainsi, en utilisant
la relation f (x + 1) + f (x) = 1/x, on a, pour x > 1,
1
x
2 f (x)
1
x − 1
.
Finalement f (x) ∼
x→+∞
1
2x
.
Exercice 10.8
TPE PSI 2005, Mines-Ponts PC 2007
1. Montrer que f (x) =
p/2
0
ln(x
2 +sin
2 t) dt est de classe C
1 sur R
∗
+ et calculer
f
(x) (on pourra utiliser le changement de variable u = tan t).
2. Calculer lim
x→+∞
( f (x) − p ln x) et en déduire une écriture simplifiée de f (x)
pour x > 0.
3. Montrer que f est définie et continue en 0.
On note h(x, t) = ln(x
2 + sin
2 t) pour x > 0 et t ∈ [0, p/2].
1. Soit x > 0. La fonction t → h(x, t) est continue sur [0, p/2] et donc intégrable
sur ce segment. Pour tout t ∈ [0, p/2], x → h(x, t) est de classe C
1 sur R
∗
+ avec