204 Chap. 8. Intégration sur un intervalle quelconque
Finalement lim
n→+∞
u n = e
−1 , ce qui donne
n
√
n! ∼
n→+∞
n
e
.
3. Pour n ∈ N avec n 2, on définit v n =
n−1
k=1
1
√
k(n − k)
. On a v n =
1
n
n−1
k=1
f
k
n
où f (x) =
1
√
x(1 − x)
. La fonction f est continue sur ]0, 1[, décroissante sur
]0, 1/2] puis croissante sur [1/2, 1[. On généralise le résultat de la première question pour des fonctions monotones et intégrables sur des intervalles ]a, b] ou [a, b[
(a et b réels). On sépare la somme en deux sommes, l’une où l’indice k varie de 1
à E(n/2) et l’autre où l’indice k prend les autres valeurs. On obtient alors
lim
n→+∞
v n =
1/2
0
f (t) dt +
1
1/2
f (t) dt =
1
0
dt
√
t(1 − t)
= p.
On peut calculer l’intégrale de différentes façons : soit de façon usuelle, en écrivant t(1 − t) =
1
4
− (t −
1
2
)
2 et en intégrant à l’aide de la fonction arcsinus, soit à
l’aide d’un logiciel de calcul formel.
8.3 EXERCICES D’APPROFONDISSEMENT
Exercice 8.18
Centrale PC 2007K
Soit F la fonction x →
+∞
x
sin t
t 2 dt
1. Montrer que F est définie, continue et dérivable sur R
∗
+ .
2. Montrer que F(x) =
cos x
x 2 + O(
1
x 3 ) lorsque x tend vers +∞.
3. Montrer que F(x) ∼
x→0 +
− ln x.
4. Montrer que F est intégrable sur R
∗
+ et que
+∞
0
F(t) dt =
+∞
0
sin t
t
dt.
5. Montrer qu’il existe un unique réel r ∈ ]0, p] tel que F(r ) = 0.
1. La fonction f : t →
sin t
t 2 est continue sur R
∗
+ donc sur tout intervalle [x, +∞[ où
x > 0, et | f (t)|
1
t 2 , donc f est intégrable sur tout intervalle [x, +∞[ si x > 0.
Pour x > 0, F(x) =
+∞
1
f (t) dt −
x
1
f (t) dt, l’application x →
x
1
f (t) dt
est de classe C
1 sur R
∗
+ (c’est la primitive de f qui s’annule en 1), donc F est de
classe C
1 sur R
∗
+ de dérivée − f .