5.1 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation 99
2.a) La fonction f n est une fonction affine par morceaux sur le segment [0, 1], et on
voit à l’aide de son graphe qu’elle est continue. C’est donc un élément de E (il est
vivement conseillé de tracer effectivement son graphe !)
1
1
α
γ
0
On vérifie géométriquement que N a ( f n ) = 1 et que N b ( f n ) =
g n − a
2
=
b − a
2n
(c’est l’aire du triangle !). La suite ( f n ) converge vers la fonction nulle pour la norme
N b , mais pas pour la norme N a . Les deux normes ne sont pas équivalentes.
Exercice 5.5
(Très proche de INT PC 2005, Mines-Ponts MP 2007) K
Soit E = { f ∈ C
1 ([0, 1], R)}. On pose pour tout f ∈ E,
N ( f ) =
| f (0)|
2 +
1
0
| f (t)|
2 dt.
1) Montrer que N est une norme euclidienne sur E.
2) Etablir que pour tout f ∈ E, f ∞
√
2N ( f ).
3) Montrer que les normes . ∞ et N ne sont pas équivalentes.
Indication de l’examinateur : utiliser la suite de terme général f n (x) = x
n .
1. Compte tenu de l’expression de la norme, on est conduit à penser à une norme
euclidienne. Introduisons F : ( f , g) ∈ E
2
→ f (0)g(0) +
1
0
f
(t)g
(t)dt.
Il est clair que F est une forme bilinéaire symétrique et positive. Montrons qu’elle
est définie. Soit f un élément de E tel que F( f , f ) = 0. On a alors
F( f , f ) = | f (0)|
2 +
1
0
| f
(t)|
2 dt = 0 ⇒ f (0) = 0 et
1
0
| f
(t)|
2 dt = 0.
Comme t → | f
(t)|
2 est positive et continue sur [0, 1], f
est nulle sur [0, 1] donc
f est constante, et donc nulle puisque f (0) = 0.
Ainsi, F est un produit scalaire et N est la norme euclidienne associée.
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