Exercice 10.10
Centrale PC 2005
Donner la nature de la surface (S) de R
3 définie par (x−y)
2 +(y−z)
2 +(z−x)
2 = k.
La matrice de Q est donnée par A =
⎛
⎝
2 −1 −1
−1
2 −1
−1 −1
2
⎞
⎠ .
Son polynôme caractéristique est −l
3 + 6l
2
− 9l et on a Sp( A) = {0, 3}. Comme
la matrice de A n’est pas de rang 3, on explicite une base orthonormale de vecteurs
propres. On obtient par exemple :
e 1 =
√
3
3
,
√
3
3
,
√
3
3
, e 2 =
−
√
2
2
, 0,
√
2
2
, e 3 =
−
√
6
6
,
√
6
3
, −
√
6
6
.
Dans le repère orthonormal (O, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique a pour équation :
3Y
2 + 3Z
2 = k.
Si k < 0, alors la quadrique est vide.
Si k = 0, alors la quadrique est réduite à la droite d’équations Y = Z = 0.
Si k > 0, alors la quadrique est un cylindre elliptique qui ici est de révolution.
Exercice 10.11
TPE PC 2005, Mines-Ponts MP 2006
Déterminer, suivant les valeurs des réels a et b, la nature de la quadrique dont
l’équation dans un repère orthonormé est : x
2 + x y − xz − yz + ax + bz = 0.
La matrice de Q est donnée par A =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
1
1
2
−
1
2
1
2
0 −
1
2
−
1
2
−
1
2
0
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Son polynôme caractéristique est −l
3 + l
2 +
3
4
l et on a Sp(A) =
0, −
1
2
,
3
2
.
Comme la matrice de Q n’est pas de rang 3, on explicite une base orthonormale de
vecteurs propres. On obtient par exemple :
e 1 =
√
3
3
, −
√
3
3
,
√
3
3
, e 2 =
0,
√
2
2
,
√
2
2
, e 3 =
−
√
6
3
, −
√
6
6
,
√
6
6
.
Dans le repère orthonormal (O, e 1 , e 2 , e 3 ), la quadrique a pour équation :
−
1
2
Y
2 +
3
2
Z
2 +
√
3
3
(a + b)X +
√
2
2
bY −
√
6
6
(2a + b)Z = 0.
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