Algèbre générale
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1.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
1.1.1 Congruences et Z/nZ
Ce qu’il faut savoir
• Les sous-groupes additifs de Z sont de la forme nZ, où n ∈ N.
• On définit dans Z la relation de congruence modulo n de la façon suivante :
x ≡ y (mod n) si et seulement si x − y ∈ nZ .
On obtient une relation d’équivalence, compatible avec l’addition et la multiplication, ce qui signifie que pour tout (x, y, z) ∈ Z
3 , si x ≡ y (mod n), alors
x + z ≡ y + z (mod n) et xz ≡ yz (mod n).
• La classe d’équivalence de x est l’ensemble x + nZ, on la note x.
Il y a exactement n classes d’équivalence, celles de 0, 1, . . . , n − 1. Elles
forment une partition de Z. On note Z/nZ l’ensemble formé de ces n classes
d’équivalence.
• On définit une loi, encore notée +, dans Z/nZ en posant : x + y = x + y.
La compatibilité de la congruence avec l’addition assure la cohérence de cette
définition. Muni de cette loi, Z/nZ est un groupe abélien.
Exercice 1.1
Soit n ∈ N.
1) Montrer que n est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres
(quand on écrit n en base 10) est divisible par 3.
2) Montrer que n est divisible par 8 si et seulement si le nombre formé par les
trois derniers chiffres de n est divisible par 8.
1) Écrire un entier n en base 10 sous la forme a p · · · a 1 a 0 , cela signifie que
n = a 0 10
0 + a 1 10
1 + · · · + a p 10
p (où 10
0 = 1).
Or 10 ≡ 1 (mod 3) donc 10
k
≡ 1 (mod 3) pour tout k ∈ N. Ainsi
n ≡ a 0 + a 1 + · · · + a p (mod 3) donc 3 | n si et seulement si 3 | a 0 + a 1 + · · · + a p .
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1.1 L’ESSENTIEL DU COURS ET EXERCICES D’ASSIMILATION
1.1.1 Congruences et Z/nZ
Ce qu’il faut savoir
• Les sous-groupes additifs de Z sont de la forme nZ, où n ∈ N.
• On définit dans Z la relation de congruence modulo n de la façon suivante :
x ≡ y (mod n) si et seulement si x − y ∈ nZ .
On obtient une relation d’équivalence, compatible avec l’addition et la multiplication, ce qui signifie que pour tout (x, y, z) ∈ Z
3 , si x ≡ y (mod n), alors
x + z ≡ y + z (mod n) et xz ≡ yz (mod n).
• La classe d’équivalence de x est l’ensemble x + nZ, on la note x.
Il y a exactement n classes d’équivalence, celles de 0, 1, . . . , n − 1. Elles
forment une partition de Z. On note Z/nZ l’ensemble formé de ces n classes
d’équivalence.
• On définit une loi, encore notée +, dans Z/nZ en posant : x + y = x + y.
La compatibilité de la congruence avec l’addition assure la cohérence de cette
définition. Muni de cette loi, Z/nZ est un groupe abélien.
Exercice 1.1
Soit n ∈ N.
1) Montrer que n est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres
(quand on écrit n en base 10) est divisible par 3.
2) Montrer que n est divisible par 8 si et seulement si le nombre formé par les
trois derniers chiffres de n est divisible par 8.
1) Écrire un entier n en base 10 sous la forme a p · · · a 1 a 0 , cela signifie que
n = a 0 10
0 + a 1 10
1 + · · · + a p 10
p (où 10
0 = 1).
Or 10 ≡ 1 (mod 3) donc 10
k
≡ 1 (mod 3) pour tout k ∈ N. Ainsi
n ≡ a 0 + a 1 + · · · + a p (mod 3) donc 3 | n si et seulement si 3 | a 0 + a 1 + · · · + a p .