66
4 Four-Dimensional Superfield Supersymmetry
=
m −
1
4
¯
D
2
−
1
4
D
2
m
.
(4.72)
The Green function is an inverse to this operator:
G =
−1
=
1
− m 2
m
1
4
¯
D
2
1
4
D
2 m
.
(4.73)
In other words, the G satisfies the equation
G = −
δ + (z 1 − z 2 )
0
0
δ − (z 1 − z 2 )
.
(4.74)
The matrix 1 =
δ + (z 1 − z 2 )
0
0
δ − (z 1 − z 2 )
plays the role of a functional unit matrix
within this description.
Thus, the generating functional can be presented as
Z [J, ¯
J ] = exp(i
λ
3!
d
6 z
1
i
δ
δ J (z)
3
+ h.c.)
det
−1/2
×
× exp
−
i
2
dz 1 dz 2
J (z 1 ) ¯
J (z 1 )
1
− m 2
m
1
4
¯
D
2
1
4
D
2 m
×
×
δ + (z 1 − z 2 )
0
0
δ − (z 1 − z 2 )
J (z 2 )
¯
J (z 2 )
.
(4.75)
The equivalent form of this expression is
Z [J, ¯
J ] = exp
i
λ
3!
d
6 z
1
i
δ
δ J (z)
3
+ h.c.
(det
−1/2
) exp(
i
2
A[J, ¯
J ]) ≡
≡ exp
i
λ
3!
d
6 z
1
i
δ
δ J (z)
3
+ h.c.
Z 0 [J, ¯
J ],
(4.76)
where Z 0 [J, ¯
J ] is the free generating functional, and
A[J, ¯
J ] = −
d
6 z J
m
− m 2 J + 2
d
6 z J
1
4
¯
D
2
− m 2
¯
J +
d
6
¯
z ¯
J
m
− m 2
¯
J
.
(4.77)