Contents
1 Introduction: From Bound States to the Continuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2 The Discrete Spectrum and the Continuum . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Definition of One-Body States . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 The Harmonic Oscillator Potential. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Coulomb Potential and Coulomb Wave Functions .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3.1 Continued Fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Analytic Continuation of Coulomb Wave Functions .. . . . . . 26
2.3.3 Asymptotic Forms of Coulomb Wave Functions
for Small and Large Arguments .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Pöschl-Teller-Ginocchio Potential . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Calculation of the Function y(r) .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.4.2 Different Terms of the Pöschl-Teller-Ginocchio
Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4.3 Wave Functions of the Pöschl-Teller-Ginocchio
Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4.4 Modified Pöschl-Teller-Ginocchio Potential.. . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5 Basic Properties of Bound States . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.5.1 Number of Bound States of a One-Body Hamiltonian .. . . . 43
2.5.2 Virial Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.6 Analytical Properties of the Wave Functions .. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.6.1 Decomposition in Incoming and Outgoing Wave
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.6.2 Asymptotic Behavior of Complex-Momentum Wave
Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6.3 Analyticity of Complex Momentum Wave Functions .. . . . . 54
2.6.4 Jost Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.5 Wave Functions in a Screened Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.6.6 The Scattering Matrix.. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6.7 Radial Equation and Shooting Method .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.6.8 Calculation of the Width of a Metastable State .. . . . . . . . . . . . 66
Solutions to Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
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