Contents
ix
5 Formulation and Implementation of the Gamow Shell Model . . . . . . . . . . 185
5.1 Mathematical Foundation of the Gamow Shell Model . . . . . . . . . . . . . . 185
5.1.1 Rigged Hilbert Space Setting of the Gamow Shell
Model .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.1.2 Complex Observables and Their Interpretation . . . . . . . . . . . . 188
5.1.3 Many-Body Berggren Completeness Relation . . . . . . . . . . . . . 191
5.1.4 Complex Observables: The Generalized Variational
Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2 Translationally Invariant Shell Model Scheme: The Cluster
Orbital Shell Model.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.3 Truncation of the Many-Body Berggren Basis in the Gamow
Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.3.1 Natural Orbitals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.4 Determination of Eigenvalues in Gamow Shell Model:
The Overlap Method.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.5 Optimization of the Gamow Shell Model One-Body Basis . . . . . . . . . 208
5.6 Calculation of Two-Body Matrix Elements in the Gamow
Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.7 The Jacobi-Davidson Method in the Gamow Shell Model . . . . . . . . . . 214
5.8 Memory Management and Two-Dimensional Partitioning . . . . . . . . . . 215
5.8.1 Slater Determinants and Partitions in Shell Model
Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.8.2 Memory Management of the Hamiltonian .. . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.8.3 2D Partitioning Parallelization Scheme
of the Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.8.4 Treatment of the Angular Momentum Projection . . . . . . . . . . 222
5.9 Diagonalization of Very Large Gamow Shell Model Matrices
with the Density Matrix Renormalization Group Approach .. . . . . . . . 224
5.10 Statistical Evaluation of Modeling Errors and Quality
of Predictions in the Gamow Shell Model . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.10.1 Penalty Function and Linear Regression
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.10.2 Bayesian Inference of Parameters .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Solutions to Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6 Physical Applications of the Gamow Shell Model . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1 Effective Interaction in the Vicinity of the Particle-Emission
Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.1 Monitoring Branch Points and Avoided Crossings
in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.1.2 Effect of Continuum Coupling on the Spin–Orbit
Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
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5 Formulation and Implementation of the Gamow Shell Model . . . . . . . . . . 185
5.1 Mathematical Foundation of the Gamow Shell Model . . . . . . . . . . . . . . 185
5.1.1 Rigged Hilbert Space Setting of the Gamow Shell
Model .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
5.1.2 Complex Observables and Their Interpretation . . . . . . . . . . . . 188
5.1.3 Many-Body Berggren Completeness Relation . . . . . . . . . . . . . 191
5.1.4 Complex Observables: The Generalized Variational
Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.2 Translationally Invariant Shell Model Scheme: The Cluster
Orbital Shell Model.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.3 Truncation of the Many-Body Berggren Basis in the Gamow
Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.3.1 Natural Orbitals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
5.4 Determination of Eigenvalues in Gamow Shell Model:
The Overlap Method.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
5.5 Optimization of the Gamow Shell Model One-Body Basis . . . . . . . . . 208
5.6 Calculation of Two-Body Matrix Elements in the Gamow
Shell Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.7 The Jacobi-Davidson Method in the Gamow Shell Model . . . . . . . . . . 214
5.8 Memory Management and Two-Dimensional Partitioning . . . . . . . . . . 215
5.8.1 Slater Determinants and Partitions in Shell Model
Codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
5.8.2 Memory Management of the Hamiltonian .. . . . . . . . . . . . . . . . . 217
5.8.3 2D Partitioning Parallelization Scheme
of the Hamiltonian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
5.8.4 Treatment of the Angular Momentum Projection . . . . . . . . . . 222
5.9 Diagonalization of Very Large Gamow Shell Model Matrices
with the Density Matrix Renormalization Group Approach .. . . . . . . . 224
5.10 Statistical Evaluation of Modeling Errors and Quality
of Predictions in the Gamow Shell Model . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5.10.1 Penalty Function and Linear Regression
Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
5.10.2 Bayesian Inference of Parameters .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Solutions to Exercises .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6 Physical Applications of the Gamow Shell Model . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1 Effective Interaction in the Vicinity of the Particle-Emission
Threshold . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
6.1.1 Monitoring Branch Points and Avoided Crossings
in the Complex Plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.1.2 Effect of Continuum Coupling on the Spin–Orbit
Splitting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242