96
4 Bateman Waves
σ 33 + i λ 33 =
(a + i c)
2 r
Y ,
(4.223)
σ 12 + i λ 12 =
i (a + i c)
8 r
Y
Y
2
−
1
Y 2
,
(4.224)
σ 13 + i λ 13 = −
(a + i c)
4 r
Y
Y −
1
Y
,
(4.225)
σ 23 + i λ 23 = −
i (a + i c)
4 r
Y
Y +
1
Y
.
(4.226)
The following formulas, with partial derivatives denoted by subscripts and a bar
denoting complex conjugation, are very useful in verifying (4.220):
Y x = −
Y
2 r
Y −
1
Y
, Y y = −
i Y
2 r
Y +
1
Y
, Y z =
Y
r
,
(4.227)
and
r x =
Y + ¯
Y
Y ¯
Y + 1
, r y =
i (Y − ¯
Y)
Y ¯
Y + 1
, r z =
Y ¯
Y − 1
Y ¯
Y + 1
.
(4.228)
Finally we wish to verify the second of (4.117). We see from (4.213) that
E αβ + i H αβ = −
∂
∂t
(σ αβ + i λ αβ ) ,
(4.229)
and this implies that
E 11 + i H 11 =
(A + i C)
8 r
Y
Y −
1
Y
2
,
(4.230)
E 22 + i H 22 = −
(A + i C)
8 r
Y
Y +
1
Y
2
,
(4.231)
E 33 + i H 33 =
(A + i C)
2 r
Y ,
(4.232)
E 12 + i H 12 =
i (A + i C)
8 r
Y
Y
2
−
1
Y 2
,
(4.233)
E 13 + i H 13 = −
(A + i C)
4 r
Y
Y −
1
Y
,
(4.234)
E 23 + i H 23 = −
i (A + i C)
4 r
Y
Y +
1
Y
.
(4.235)