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Les systèmes de coordonnées usuelles
1. Coordonnées polaires
Lorsque l'on étudie les vibrations libres d'un pendule, la position de celui-ci est repérée
par un angle. Les coordonnées cartésiennes ne sont pas les mieux adaptées à l'étude de
ce genre de situations.
Les coordonnées polaires permettent de repérer la position d'un point M dans Je plan
en fonction de sa distance r à un poi nt donné 0, appelé pôle, et de l'angle(}, mesuré
dans le sens trigonométrique, entre un axe de référence, appelé axe polaire, et la demidroite d 'origine 0 passant par M. Le réel positif r est la coordonnée radiale, et (} la
coordonnée angulaire.
Le plus souvent, l'axe polaire coïncide avec J' axe des abscisses du système de coordonnées cartésiennes usuel. On a alors, pour tout point de coordonnées (x, y) :
{
X = r COS(}
y = r sin (}
r
j
e
0 --:-+
I
M(x,y)
Figure 41.1- Les coordonnées polaires.
2. Coordonnées cylindriques
De même que les coordonnées polaires permettent de repérer facilement la position angulaire d'un point, les coordonnées cylindriques sont adaptées à des configurations où, à
un angle et la distance à une origine, il fau t rajouter une troisième composante, verticale,
comme si on se déplaçait sur un cylindre.
Les relations entre les coordonnées cartésiennes (x, y, z) et les coordonnées cylindriques (r, B, ZcyJ.) sont les suivantes :
{
X = r COS(}
y = r sin(}
Z = Zcyl
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