III Anneau Z/nZ
• Congruences dans Z
Soit n ∈ N
∗ . La relation binaire dans Z :
a et b ont le même reste dans la division par n ⇐⇒ n/(a − b)
se note a ≡ b (mod n) ; lire : a congru à b modulo n.
On écrit Z/nZ pour désigner l'ensemble des classes ainsi formées par regroupement :
a = {b ∈ Z ; a ≡ b (mod n)} .
• Propriétés algébriques de Z/nZ
Structure
Pour n 2, l'ensemble Z/nZ muni des deux lois :
a + b = a + b ; a × b = a × b
est un anneau commutatif.
Éléments inversibles
Un élément a de Z/nZ est inversible si, et seulement si, a et n sont premiers entre
eux.
Cas particulier
Z/nZ est un corps si, et seulement si, n est premier.
38
A l g è b r e e t g é o m é t r i e e n 3 0 f i c h e s
• Congruences dans Z
Soit n ∈ N
∗ . La relation binaire dans Z :
a et b ont le même reste dans la division par n ⇐⇒ n/(a − b)
se note a ≡ b (mod n) ; lire : a congru à b modulo n.
On écrit Z/nZ pour désigner l'ensemble des classes ainsi formées par regroupement :
a = {b ∈ Z ; a ≡ b (mod n)} .
• Propriétés algébriques de Z/nZ
Structure
Pour n 2, l'ensemble Z/nZ muni des deux lois :
a + b = a + b ; a × b = a × b
est un anneau commutatif.
Éléments inversibles
Un élément a de Z/nZ est inversible si, et seulement si, a et n sont premiers entre
eux.
Cas particulier
Z/nZ est un corps si, et seulement si, n est premier.
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