Solu tions des exer cices du cha pitre 8
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
d’où : x 1 5
5
13
v 2
2
13
l ; x 2 5
8
13
v 2
10
13
l ; x 3 5 l
et :
z 5
348
13
v 2
266
13
l .
Cette solu tion n’est opti male d’après D
r
4 et D
r
5 que si :
38
275
v , l ,
64
275
v.
Si l’on fait entrer en base variable y 5 , la solution obtenue n’est optimale que si :
l 5
38
475
v.
On a alors le point D de la figure.
8.5 On écrira :
2x1
2x2
3x3
3x1
x 1 ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4 ,
x 5 ,
x 6 ,
x 7 ,
4x2
x2
x3
x 4
x 5
x 6
x 7
variables
variables
principales
d’écart
artificielle
variable
2
3
5
0
2x2
0x4 0x5 0x6 Mx7 .
3x3
5x1
D’où le tableau initial :
[max] Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c i
i
j
M
M
Z
M
M
M
M
M
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
6
6
7
7
4
4
i i ie
2/ 2 *
3/ 3
j
c j
↑
e
s
[max] Ζ 5 5x 1 2 2x 2 1 3x 3 1 0x 4 1 0x 5 1 0x 6 2 Mx 7 .
2x1
2x2
3x3
3x1
x 1 ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4 ,
x 5 ,
x 6 ,
x 7 ,
4x2
x2
x3
x 4
x 5
x 6
x 7
variables
variables
principales
d’écart
artificielle
variable
2
3
5
0
2x2
0x4 0x5 0x6 Mx7 .
3x3
5x1
D’où le tableau initial :
[max] Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
c i
i
j
M
M
Z
M
M
M
M
M
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
3
5
5
5
5
5
6
6
7
7
4
4
i i ie
2/ 2 *
3/ 3
j
c j
↑
e
s
Par tant de ce tableau, on fera entrer la variable x 1 dans la base et sor tir la variable x 7 ,
puisqu’il importe de se débar ras ser de la variable arti fi cielle x 7 . Cette ité ra tion four nit un
nou veau tableau dans lequel x 5 5 0 bien que x 5 soit dans la base.
On est conduit à rem pla cer le 0 de la colonne b par ε, afin de pou voir pour suivre le cal
cul (dégé né res cence). On pourrait supprimer définitivement la colonne 7 car, désormais, la
variable artificielle x 7 est nulle et ne pourra jamais entrer en base.
x 1 ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4 ,
x 5 ,
x 6 ,
x 7 ,
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
d’où : x 1 5
5
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v 2
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l ; x 2 5
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v 2
10
13
l ; x 3 5 l
et :
z 5
348
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v 2
266
13
l .
Cette solu tion n’est opti male d’après D
r
4 et D
r
5 que si :
38
275
v , l ,
64
275
v.
Si l’on fait entrer en base variable y 5 , la solution obtenue n’est optimale que si :
l 5
38
475
v.
On a alors le point D de la figure.
8.5 On écrira :
2x1
2x2
3x3
3x1
x 1 ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4 ,
x 5 ,
x 6 ,
x 7 ,
4x2
x2
x3
x 4
x 5
x 6
x 7
variables
variables
principales
d’écart
artificielle
variable
2
3
5
0
2x2
0x4 0x5 0x6 Mx7 .
3x3
5x1
D’où le tableau initial :
[max] Z
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
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c i
i
j
M
M
Z
M
M
M
M
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1
1
1
1
1
1
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2
2
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3
3
3
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3
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5
5
5
5
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6
7
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4
4
i i ie
2/ 2 *
3/ 3
j
c j
↑
e
s
[max] Ζ 5 5x 1 2 2x 2 1 3x 3 1 0x 4 1 0x 5 1 0x 6 2 Mx 7 .
2x1
2x2
3x3
3x1
x 1 ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4 ,
x 5 ,
x 6 ,
x 7 ,
4x2
x2
x3
x 4
x 5
x 6
x 7
variables
variables
principales
d’écart
artificielle
variable
2
3
5
0
2x2
0x4 0x5 0x6 Mx7 .
3x3
5x1
D’où le tableau initial :
[max] Z
0
0
0
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0
0
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0
0
0
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0
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c i
i
j
M
M
Z
M
M
M
M
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1
1
1
1
1
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2/ 2 *
3/ 3
j
c j
↑
e
s
Par tant de ce tableau, on fera entrer la variable x 1 dans la base et sor tir la variable x 7 ,
puisqu’il importe de se débar ras ser de la variable arti fi cielle x 7 . Cette ité ra tion four nit un
nou veau tableau dans lequel x 5 5 0 bien que x 5 soit dans la base.
On est conduit à rem pla cer le 0 de la colonne b par ε, afin de pou voir pour suivre le cal
cul (dégé né res cence). On pourrait supprimer définitivement la colonne 7 car, désormais, la
variable artificielle x 7 est nulle et ne pourra jamais entrer en base.
x 1 ,
x 2 ,
x 3 ,
x 4 ,
x 5 ,
x 6 ,
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