8.4 Aspect matriciel
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.
1
1
3
3
1
soit A . x  b.
12
1
2
2
5
6
7

soit :
x 1
A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
x 2
x 3
x 4
x 5
Les m 5 2 colonnes A
2
et A
5
forment une base B 5 (A
2
, A
5
) 5 a
3 3
21 1
b puisque le
déter mi nant de cette matrice n’est pas nul : dét B 5 6.
La réécri ture four nit :
.
.
.
1
1
1
1
3
3
3 3
1
1
12
12
1
1
c’est-à-dire B . x B N .x N  b.
2
2
2
2
5
5
6
6
7
7
soit :
x 1
x 1
A
1
A
2
A
3
N
B
A
4
A
5
x 2
x 5
x 2
x 3
x 3
x 4
x 4
x N
x B
x 5


 b



Solu tion de base
Posons x N 5 0, il reste alors B # x B 5 b, qui est un sys tème de m équa tions à m inconnues,
de déter mi nant non nul (sys tème de Cra mer), admet tant une solu tion unique :
x B 5 B
21 # b
• si x B véri fie aussi les contraintes « impli cites » de positivité, c’est- à-dire si x B est
posi tif ou nul, x B est alors une « solu tion de base admis sible ».
Repre nons l’exemple ci­ dessus ; pour la base B 5 (A
2
, A
5
), on obtient la solu tion de
base asso ciée en posant x 1 5 x 3 5 x 4 5 0, soit x N 5 0. Il reste le sys tème :
.
1
3 3
1
12
6
x 2
x 5

,
.
1
3
1
3
3
1
1
1
12
6
6
5
1
1
x 2
x 5



 x B : on n’a pas xB  0 :
3
6
1
, d’où :
or B
.
1
3 3
1
12
6
x 2
x 5

,
.
1
3
1
3
3
1
1
1
12
6
6
5
1
1
x 2
x 5



 x B : on n’a pas xB  0 :
3
6
1
, d’où :
or B
cette solu tion de base n’est pas admis sible car x 2 5 21 , 0. Par contre avec la base
Br 5 (A
2
, A
3
) on obtient une solu tion de base admis sible car x B 5 6
6
, puisque ici
on a : x B > 0.