8.1 Exemple de pro gramme linéaire – Aspect géo mé trique
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© Dunod – Toute reproduction non autorisée est un délit.
de fabri ca tion ne doit pas dépas ser 45 h, dis po ni bi lité totale de la machine. On aura
donc (en négligeant les durées des réglages de la machine lors des changements de
gammes de produits) :
1
50
x 1 1
1
25
x 2 1
1
75
x 3 < 45
ou encore, en mul ti pliant les deux membres de cette inéga lité par le déno mi na teur
com mun 150 :
4) 3x 1 1 6x 2 1 2x 3 < 6 750.
Les inéga li tés 1), 2), 3) et 4) sont les contraintes expri mées par l’énoncé ; les variables
y figurent au pre mier degré : ces contraintes sont pour cela appe lées linéaires. On les
appelle par la suite : « contraintes explicites ».
En réa lité, il y a encore, dans l’énoncé, trois contraintes cachées ; les quan ti tés x 1 ,
x 2 et x 3 ont un sens phy sique pré cis : ce sont des nombres d’uni tés de pro duits dont
la fabri ca tion est envi sa gée ; elles ne peuvent donc qu’être posi tives ou nulles ou,
comme on dit, non- négatives. On écrira :
5) x 1 > 0 ;
6) x 2 > 0 ;
7) x 3 > 0.
Ces contraintes sont appelées par la suite : « contraintes implicites ».
Il reste enfin à expri mer l’objec tif du pro blème, qui est de choi sir x 1 , x 2 et x 3 de
manière que le pro fit hebdomadaire soit maximal. Le pro fit z est égal à :
4x 1 1 12x 2 1 3x 3 (euros),
cette exi gence pourra être notée :
8) 3max4 z 5 4x 1 1 12x 2 1 3x 3 ;
on remarque que cette fonc tion nelle, appe lée fonc tion éco no mique, est elle aussi
linéaire.
8.1.3 Signi fi ca tion géo mé trique
Cas de n 5 2 variables
Nous com men ce rons par exa mi ner un sous problème du pro blème pré cé dent. Sup
po sons que l’entre prise ait éli miné le pro duit P 3 de sa gamme et ait réduit l’acti vité
de l’ate lier à 35 heures par semaine. Le pro blème devient :
x 1 < 1 000 ; x 2 < 500 ;
1
50
x 1 1
1
25
x 2 < 35 soit x 1 1 2x 2 < 1 750 ;
x 1 > 0 ; x 2 > 0 ; 3max4 z 5 4x 1 1 12x 2 .
Rien ne nous empêche ici de recou rir à la méthode géo mé trique, puisque nous n’avons
que deux variables et qu’il est facile de repré sen ter le pro blème dans l’espace à deux
dimen sions (le plan) dont les axes por te ront les quan ti tés x 1 et x 2 . Toute solu tion du
pro blème est repré sen tée par un point du plan, de coor don nées x 1 et x 2 , déter mi nées.
Les contraintes x 1 > 0 et x 2 > 0 font que nous pour rons nous contenter du pre mier
qua drant du plan dans lequel les deux coordonnées sont positives ou nulles.
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de fabri ca tion ne doit pas dépas ser 45 h, dis po ni bi lité totale de la machine. On aura
donc (en négligeant les durées des réglages de la machine lors des changements de
gammes de produits) :
1
50
x 1 1
1
25
x 2 1
1
75
x 3 < 45
ou encore, en mul ti pliant les deux membres de cette inéga lité par le déno mi na teur
com mun 150 :
4) 3x 1 1 6x 2 1 2x 3 < 6 750.
Les inéga li tés 1), 2), 3) et 4) sont les contraintes expri mées par l’énoncé ; les variables
y figurent au pre mier degré : ces contraintes sont pour cela appe lées linéaires. On les
appelle par la suite : « contraintes explicites ».
En réa lité, il y a encore, dans l’énoncé, trois contraintes cachées ; les quan ti tés x 1 ,
x 2 et x 3 ont un sens phy sique pré cis : ce sont des nombres d’uni tés de pro duits dont
la fabri ca tion est envi sa gée ; elles ne peuvent donc qu’être posi tives ou nulles ou,
comme on dit, non- négatives. On écrira :
5) x 1 > 0 ;
6) x 2 > 0 ;
7) x 3 > 0.
Ces contraintes sont appelées par la suite : « contraintes implicites ».
Il reste enfin à expri mer l’objec tif du pro blème, qui est de choi sir x 1 , x 2 et x 3 de
manière que le pro fit hebdomadaire soit maximal. Le pro fit z est égal à :
4x 1 1 12x 2 1 3x 3 (euros),
cette exi gence pourra être notée :
8) 3max4 z 5 4x 1 1 12x 2 1 3x 3 ;
on remarque que cette fonc tion nelle, appe lée fonc tion éco no mique, est elle aussi
linéaire.
8.1.3 Signi fi ca tion géo mé trique
Cas de n 5 2 variables
Nous com men ce rons par exa mi ner un sous problème du pro blème pré cé dent. Sup
po sons que l’entre prise ait éli miné le pro duit P 3 de sa gamme et ait réduit l’acti vité
de l’ate lier à 35 heures par semaine. Le pro blème devient :
x 1 < 1 000 ; x 2 < 500 ;
1
50
x 1 1
1
25
x 2 < 35 soit x 1 1 2x 2 < 1 750 ;
x 1 > 0 ; x 2 > 0 ; 3max4 z 5 4x 1 1 12x 2 .
Rien ne nous empêche ici de recou rir à la méthode géo mé trique, puisque nous n’avons
que deux variables et qu’il est facile de repré sen ter le pro blème dans l’espace à deux
dimen sions (le plan) dont les axes por te ront les quan ti tés x 1 et x 2 . Toute solu tion du
pro blème est repré sen tée par un point du plan, de coor don nées x 1 et x 2 , déter mi nées.
Les contraintes x 1 > 0 et x 2 > 0 font que nous pour rons nous contenter du pre mier
qua drant du plan dans lequel les deux coordonnées sont positives ou nulles.