Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
196
Ainsi, pour la sous chaîne {D, Ε, K}, pre nons une répar tition ini tiale quel conque
(0) 5 [a, b, g] où a, b et g > 0 et a 1 b 1 g 5 1.
Effec tuons P(0) 3 M
*
, il vient :
1
143
3a, b, g 4 # £
52 63 28
52 63 28
52 63 28
§ 5 P
*
d’où :
P
* 5
1
143
352(a 1 b 1 g), 63(a 1 b 1 g), 28(a 1 b 1 g) 4 5 c
52
143
, 63
143
, 28
143
d .
P
*
, ne dépen dant pas de a, b et g, est donc bien indé pen dant de (0) !
• Valeurs propres de la matrice M 5 3 p ij 4.
La matrice M est une matrice à élé ments posi tifs ou nuls ; la somme des termes de
chaque ligne étant égale à 1 (on dit alors que M est « sto chas tique »). Toute matrice
sto chas tique admet au moins une valeur propre égale à 1 et toutes les valeurs propres
ont un module infé rieur ou égal à 1. L’ordre de mul ti pli cité de la valeur propre l 5 1
est égal au nombre de classes récur rentes de la chaîne de Markov don née par M. Si
une classe récur rente est pério dique de période d, alors les d racines d
ièmes
de l’unité
sont valeurs propres de M.
Ainsi pour Mr, le poly nôme carac té ris tique : dét(M 2 lI), est :
l
3 2 0, 6 l
2 20, 37 l 20, 03 5 (l 2 1)(l 1 0, 3)(l 1 0, 1).
Les valeurs propres de Mr sont donc : 1, 20,3 et 20,1. En par ti cu lier, on retrouve le
fait que la chaîne asso ciée à Mr com porte une seule classe (l 5 1 étant d’ordre 1) et
a pério dique (aucune racine d
ième
de l’unité parmi les valeurs propres).
En revanche, pour Ms 5
C
F
G
£
C F G
0 1 0
0 0 1
1 0 0
§ , le poly nôme carac té ris tique est :
l
3 2 1 5 (l 2 1)(l 2 j)(l 2 j) où j 5 2
1
2
1 i
"3
2
et j 5 2
1
2
2 i
"3
2
.
Les valeurs propres de Ms sont les racines cubiques de l’unité : 1, j, j ; la chaîne
asso ciée à Ms com porte donc une seule classe, récur rente, de période d 5 3.
• Retour sur la notion de pério di cité
Par défi ni tion, la période d i d’un état récur rent E i est : d i 5 PGCD5n k p
(n)
ij . 06, où
p
1n2
ii est la pro ba bi lité que le sys tème, par tant de E i , y repasse après n tran si tions ; la
période d i est donc aussi le PGCD des lon gueurs des cir cuits pas sant par E i .
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Ainsi, pour la sous chaîne {D, Ε, K}, pre nons une répar tition ini tiale quel conque
(0) 5 [a, b, g] où a, b et g > 0 et a 1 b 1 g 5 1.
Effec tuons P(0) 3 M
*
, il vient :
1
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3a, b, g 4 # £
52 63 28
52 63 28
52 63 28
§ 5 P
*
d’où :
P
* 5
1
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352(a 1 b 1 g), 63(a 1 b 1 g), 28(a 1 b 1 g) 4 5 c
52
143
, 63
143
, 28
143
d .
P
*
, ne dépen dant pas de a, b et g, est donc bien indé pen dant de (0) !
• Valeurs propres de la matrice M 5 3 p ij 4.
La matrice M est une matrice à élé ments posi tifs ou nuls ; la somme des termes de
chaque ligne étant égale à 1 (on dit alors que M est « sto chas tique »). Toute matrice
sto chas tique admet au moins une valeur propre égale à 1 et toutes les valeurs propres
ont un module infé rieur ou égal à 1. L’ordre de mul ti pli cité de la valeur propre l 5 1
est égal au nombre de classes récur rentes de la chaîne de Markov don née par M. Si
une classe récur rente est pério dique de période d, alors les d racines d
ièmes
de l’unité
sont valeurs propres de M.
Ainsi pour Mr, le poly nôme carac té ris tique : dét(M 2 lI), est :
l
3 2 0, 6 l
2 20, 37 l 20, 03 5 (l 2 1)(l 1 0, 3)(l 1 0, 1).
Les valeurs propres de Mr sont donc : 1, 20,3 et 20,1. En par ti cu lier, on retrouve le
fait que la chaîne asso ciée à Mr com porte une seule classe (l 5 1 étant d’ordre 1) et
a pério dique (aucune racine d
ième
de l’unité parmi les valeurs propres).
En revanche, pour Ms 5
C
F
G
£
C F G
0 1 0
0 0 1
1 0 0
§ , le poly nôme carac té ris tique est :
l
3 2 1 5 (l 2 1)(l 2 j)(l 2 j) où j 5 2
1
2
1 i
"3
2
et j 5 2
1
2
2 i
"3
2
.
Les valeurs propres de Ms sont les racines cubiques de l’unité : 1, j, j ; la chaîne
asso ciée à Ms com porte donc une seule classe, récur rente, de période d 5 3.
• Retour sur la notion de pério di cité
Par défi ni tion, la période d i d’un état récur rent E i est : d i 5 PGCD5n k p
(n)
ij . 06, où
p
1n2
ii est la pro ba bi lité que le sys tème, par tant de E i , y repasse après n tran si tions ; la
période d i est donc aussi le PGCD des lon gueurs des cir cuits pas sant par E i .