Chapitre 5 • Pro ces sus sto chas tiques et pro gram ma tion…
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d’une « classe pério dique ». Nous pré ci se rons plus loin, dans une annexe, la notion
de pério di cité.
Au contraire pour la classe 5D, E, K6 5 c 4 , l’évo lu tion sera toute dif fé
rente : on dit qu’il s’agit d’une « classe a pério dique ». On peut cal cu ler la pro
ba bi lité pour que le sys tème se trouve dans cha cun des états de c 4 au bout d’un
grand nombre de tran si tions, sachant qu’ini tia le ment (à t = 0), le sys tème y était
déjà : p D 1 02 1 p E 1 02 1 p K 1 02 5 1 (ou bien si l’on est sûr qu’au bout d’un cer tain
nombre de tran si tions, le sys tème a atteint l’un des états D, E, ou K).
Soit Mr la sous matrice des pro ba bi li tés des tran si tions entre les états de la classe
c 4 ; nous sup po se rons l’exis tence d’une dis tri bu tion sta tion naire des pro ba bi li tés des
états (atteinte après un grand nombre de tran si tions), soit P
* 5 3p
*
D , p
*
E , p
*
K 4. Cette
dis tri bu tion étant sta tion naire, on retrouve la même après une tran si tion : P
* 5 P
* # Mr,
soit, en posant (pour allé ger les nota tions) P
* 5 3a, b, c4 :
D E K
3a, b, c4 5 3a, b, c4 Mr, où: Mr 5
D
E
K
£
0, 3 0, 7 0
0, 4 0, 2 0, 4
0, 4 0, 5 0, 1
§
Le sys tème P
* 5 P
* # Mr s’écrit :
µ
0, 3a 1 0, 4b 1 0, 4c 5 a
0, 7a 1 0, 2b 1 0, 5c 5 b
0, 4b 1 0, 1c 5 c
a
b 1
c 5 1
Remar quons que (4) – (1) – (2) redonne l’équa tion (3), si bien que ce sys tème
com porte 3 équa tions indé pen dantes, pour 3 inconnues. L’équa tion (5.3) four nit
b 5
9
4
c ; en repor tant dans (2), il vient : a 5
13
7
c. En repor tant dans (4), il vient :
a
13
7
1
9
4
1 1b c 5 1,
d’où : c 5
28
143
; puis b 5
63
143
et a 5
52
143
, soit P
* 5 B
52
143
,
63
143
,
28
143
R : ce sont
donc les pro ba bi lités de trou ver le sys tème en D, Ε ou Κ au bout d’un grand nombre
de tran si tions. Sup pri mons les 9 autres états pour gar der seule ment la sous chaîne
ayant comme ensemble d’états c 4 et pour matrice Mr ; on constate ici que les pro
ba bi li tés des états tendent vers une limite P
*
indé pen dante de la dis tri bu tion ini tiale
(0) et stric te ment posi tive.
(1)
(2)
(3)
(4)
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d’une « classe pério dique ». Nous pré ci se rons plus loin, dans une annexe, la notion
de pério di cité.
Au contraire pour la classe 5D, E, K6 5 c 4 , l’évo lu tion sera toute dif fé
rente : on dit qu’il s’agit d’une « classe a pério dique ». On peut cal cu ler la pro
ba bi lité pour que le sys tème se trouve dans cha cun des états de c 4 au bout d’un
grand nombre de tran si tions, sachant qu’ini tia le ment (à t = 0), le sys tème y était
déjà : p D 1 02 1 p E 1 02 1 p K 1 02 5 1 (ou bien si l’on est sûr qu’au bout d’un cer tain
nombre de tran si tions, le sys tème a atteint l’un des états D, E, ou K).
Soit Mr la sous matrice des pro ba bi li tés des tran si tions entre les états de la classe
c 4 ; nous sup po se rons l’exis tence d’une dis tri bu tion sta tion naire des pro ba bi li tés des
états (atteinte après un grand nombre de tran si tions), soit P
* 5 3p
*
D , p
*
E , p
*
K 4. Cette
dis tri bu tion étant sta tion naire, on retrouve la même après une tran si tion : P
* 5 P
* # Mr,
soit, en posant (pour allé ger les nota tions) P
* 5 3a, b, c4 :
D E K
3a, b, c4 5 3a, b, c4 Mr, où: Mr 5
D
E
K
£
0, 3 0, 7 0
0, 4 0, 2 0, 4
0, 4 0, 5 0, 1
§
Le sys tème P
* 5 P
* # Mr s’écrit :
µ
0, 3a 1 0, 4b 1 0, 4c 5 a
0, 7a 1 0, 2b 1 0, 5c 5 b
0, 4b 1 0, 1c 5 c
a
b 1
c 5 1
Remar quons que (4) – (1) – (2) redonne l’équa tion (3), si bien que ce sys tème
com porte 3 équa tions indé pen dantes, pour 3 inconnues. L’équa tion (5.3) four nit
b 5
9
4
c ; en repor tant dans (2), il vient : a 5
13
7
c. En repor tant dans (4), il vient :
a
13
7
1
9
4
1 1b c 5 1,
d’où : c 5
28
143
; puis b 5
63
143
et a 5
52
143
, soit P
* 5 B
52
143
,
63
143
,
28
143
R : ce sont
donc les pro ba bi lités de trou ver le sys tème en D, Ε ou Κ au bout d’un grand nombre
de tran si tions. Sup pri mons les 9 autres états pour gar der seule ment la sous chaîne
ayant comme ensemble d’états c 4 et pour matrice Mr ; on constate ici que les pro
ba bi li tés des états tendent vers une limite P
*
indé pen dante de la dis tri bu tion ini tiale
(0) et stric te ment posi tive.
(1)
(2)
(3)
(4)