A ¼ 8 μ f =μ i À 1
½
Š4 À 5v i
ð
Þη 1 φ
10=3
À 2 63 μ f =μ i À 1
ð
Þ η 2 þ 2η 1 η 3
½
Š φ
7=3
þ252 μ f =μ i À 1
½
Š η 2 φ
5=3
À 50 μ f =μ i À 1
½
Š7 À 12v i þ 8v
2
i
À
Á η 2 φ þ 4 7 À 10v i
ð
Þ η 2 η 3
ð6:242Þ
B ¼ À4 μ f =μ i À 1
½
Š1 À 5v i
ð
Þη 1 φ
10=3
þ 4 63 μ f =μ i À 1
ð
Þ η 2 þ 2η 1 η 3
½
Š φ
7=3
À504 μ f =μ i À 1
½
Š η 2 φ
5=3
þ 150 μ f =μ i À 1
½
Š3 À v i
ð
Þv i η 2 φ þ 3 15v i À 7
ð
Þ η 2 η 3
ð6:243Þ
D ¼ 4 μ f =μ i À 1
½
Š5v i À 7
ð
Þη 1 φ
10=3
À 2 63 μ f =μ i À 1
ð
Þ η 2 þ 2η 1 η 3
½
Š φ
7=3
þ252 μ f =μ i À 1
½
Š η 2 φ
5=3
þ 25 μ f =μ i À 1
½
Šv
2
i À 7
À
Á η 2 φ À 7 þ 5v i
ð
Þη 2 η 3
ð6:244Þ
with
η 1 ¼ μ f =μ i À 1
½
Š49 À 50v f v i
ð
Þþ35 μ f =μ i
ð
Þ v f À 2v i
ð
Þþ35 2v f À v i
ð
Þ
ð 6:245Þ
η 2 ¼ 5v f μ f =μ i À 8
½
Šþ7 μ f =μ i þ 4
ð
Þ
ð 6:246Þ
η 3 ¼ μ f =μ i
ð
Þ 8 À 10v i
ð
Þþ 7 À 5v i
ð
Þ
ð6:247Þ
φ is given in Eq. (6.239).
Based on the Van der Poel’s formula for the shear modulus of a particulate
composite, Smith (1974, 1975) also gave the condition for determining the effective
shear modulus of the CSA as follows:
α
μ
Ã
μ i
À 1
2
þ β
μ
Ã
μ i
À 1
þ γ ¼ 0
ð6:248Þ
where
α ¼ 4P 7 À 10v i
ð
ÞÀSφ
7=3
h
i
Q À 8 À 10v i
ð
ÞM À 1
ð
Þφ
½
Š
À 126P M À 1
ð
Þφ 1 À φ
2=3
2
ð6:249Þ
β ¼ 35 1 À v i
ð
ÞP Q À 8 À 10v i
ð
ÞM À 1
ð
Þφ
½
Š À 15 1 À v i
ð
Þ
 4P 7 À 10v i
ð
ÞÀSφ
7=3
h
i
M À 1
ð
Þφ
ð6:250Þ
γ ¼ À525P 1 À v i
ð
Þ
2 M À 1
ð
Þφ
ð6:251Þ
with
M ¼ μ f =μ i
ð6:252Þ
6.6 Effective Thermo-Mechanical Properties
311