P 2 ¼
1
2
X 2
q¼1
b q φ q þ 1
!
ð6:205Þ
3Q 1 þ 2Q 2 ¼ a 1 φ 1
ð6:206Þ
Q 2 ¼
1
2
b 1 φ 1
ð6:207Þ
a q ¼
20 1 À 2v 0
ð
Þ
3α q þ 2β q
ð6:208Þ
b q ¼
7 À 5v 0
ð
Þ
β q
ð6:209Þ
Using Eqs. (6.199) and (6.189), we arrive at the alternative expression for the
ensemble-averaged current stress norm in a matrix point x as
H
h i m x
ð Þ ¼ σ : T : σ þ 2σ : T
à : σ
T
þ σ
T
: T
ÃÃ : σ
T
ð6:210Þ
where the positive definite fourth-rank tensor T, T
à and T
ÃÃ are defined as
T ¼ P
À1
À
Á T Á T Á P
À1
ð6:211Þ
T
à ¼ P
À1
À
Á T Á T Á P
À1
Á Q À T
Ã
Á P
À1
ð6:212Þ
T
ÃÃ ¼ P
À1
Á Q
À
Á T Á T Á P
À1
Á Q
À
Á þ T
Ã
À 2T
Ã
Á P
À1
Á Q
À
Á
ð6:213Þ
where the components of T, T
à and T
ÃÃ are
T ijkl ¼ T 1 δ ij δ kl þ T 2 δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:214Þ
T
Ã
ijkl ¼ T
Ã
1 δ ij δ kl þ T
Ã
2 δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:215Þ
T
ÃÃ
ijkl ¼ T
ÃÃ
1 δ ij δ kl þ T
ÃÃ
2 δ ik δ jl þ δ il δ jk
À
Á
ð6:216Þ
with
3T 1 þ 2T 2 ¼
3T 1 þ 2T 2
P 2
q¼1
a q φ q þ 1
! 2
ð6:217Þ
6.5 Noninteracting Solution for Three-Phase Composites
305