∂F
∂ε pl ¼ À
ffiffi ffi
2
3
r
K
0 2
3
ε
pl
α
and
∂F
∂ℓχ pl ¼ À
ffiffi ffi
2
3
r
K
0 2
3
ℓχ
pl
α
ð5:175Þ
gives
∂F
∂ε pl : b n ¼ À
ffiffi ffi
2
3
r
K
0 2
3
ε
pl
α
:
S
jΣj
and
∂F
∂ℓχ pl : b v ¼ À
ffiffi ffi
2
3
r
K
0 2
3
ℓχ
pl
α
:
ℓ
À1 m
jΣj
ð5:176Þ
Then the term within brackets in the denominator reduces to
∂F
∂ε pl : b n þ
∂F
∂ℓχ pl : b v ¼ À
ffiffi ffi
2
3
r
K
0 2
3
1
αjΣj
ε
pl
: S þ ℓχ
pl
: ℓ
À1 m
À
Á ¼ À
2
3
K
0
ð5:177Þ
after using ε
pl : S + ‘χ
pl : ‘
À1 m ¼ Kα.
Using the previous result, the consistency parameter γ reduces to
γ ¼
b n : C : _
ε þ b v : D : ℓ _
χ
b n : C : b n þ b v : D : b v þ
2
3 K
0
ð5:178Þ
Using
b n : C ¼ 2μb n and b n : C : b n ¼ 2μ
S : S
Σ
k k
2
and
b v : D ¼ 2μb v and b v : C : b v ¼ 2μ
ℓ
À1 m : ℓ
À1 m
Σ
k k
2
yields
γ ¼
1
jΣj
S : _
ε þ ℓ
À1
: ℓ _
χ
1 þ
K
0
3μ
¼
1
jΣj
S : _
ε þ ℓ
À1
: ℓ _
χ
b
K
ð5:179Þ
Using this result into Hooke’s law yields
_
σ ¼ C : _
ε À
2μ
b
K
b n b n
ð
Þ: _
ε À
2μ
b
K
b n b v
ð
Þ: ℓ _
χ
ð5:180aÞ
ℓ
À1
_
m ¼ D : ℓ _
χ À
2μ
b
K
b
n b v
ð
Þ: _
ε À
2μ
b
K
b v b v
ð
Þ: ℓ _
χ
ð5:180bÞ
Using
260
5 Unified Mechanics of Thermo-mechanical Analysis