Contents
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1 Background and Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Book Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2 Elements of Quantum Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1 Dirac Notation and Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2 Density Operator Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 POVMs and Projective Measurements . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Qubits and Pauli Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Composite Systems and Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 The Schmidt Decomposition and Purifications . . . . . . . . . 17
2.5 Quantum Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1 Depolarizing Channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Shannon and von Neumann Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1 Operational Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Min- and Max-Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.1 Operational Meaning of Min-Entropy . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Smooth Min- and Max-Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Data Compression and Error Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10 Privacy Amplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11 Distances and Distinguishability Between Quantum States . . . . . 30
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Introducing Quantum Key Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 The Origins of Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 The BB84 Protocol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Secret Key Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.1 Background and Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2 Book Structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Elements of Quantum Information Theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1 Dirac Notation and Linear Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.2 Density Operator Formalism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.1 POVMs and Projective Measurements . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Qubits and Pauli Operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4 Composite Systems and Entanglement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4.1 The Schmidt Decomposition and Purifications . . . . . . . . . 17
2.5 Quantum Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5.1 Depolarizing Channel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6 Shannon and von Neumann Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.6.1 Operational Meaning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.7 Min- and Max-Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.7.1 Operational Meaning of Min-Entropy . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.8 Smooth Min- and Max-Entropy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.9 Data Compression and Error Correction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10 Privacy Amplification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.11 Distances and Distinguishability Between Quantum States . . . . . 30
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Introducing Quantum Key Distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 The Origins of Security . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 The BB84 Protocol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.2.1 Secret Key Rate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
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