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9 Urnes de Pólya et applications
(b) On suppose être dans le cas « grand ». Ecrire un système de m équations en distribution pour
les W k définis par :
W k = lim
t→+∞
e
−λ 2 t X k (t)v 2
où v 2 est un vecteur propre associé à λ 2 , comme dans le théorème 9.8.
(c) En déduire que W 1 est solution de l’équation en distribution :
W 1
L
= e
−λ 2 T
W
(1)
1 + W
(2)
1
où T est une variable aléatoire réelle positive dont on donnera la loi, et où W 1 , W
(1)
1 , W
(2)
1 sont
indépendantes et de même loi et indépendantes de T .
9.8. On considère un arbre-B prudent de paramètre m, et l’urne correspondante de matrice de
remplacement r m donnée par (9.15).
On appelle λ 2 et λ 2 les valeurs propres conjuguées dont la partie réelle est la plus grande (en
restant < 1).
Pour k = 1, 2, . . . , m + 1, on appelle X k (t) le processus de branchement à m + 1 types obtenu
par plongement de l’urne en temps continu (voir section 9.4.1), partant à l’instant 0 d’une particule
de type k.
(a) Appliquer à X k (t) la propriété de branchement au premier instant de saut τ pour écrire les
équations de dislocation vérifiées par les X k (t), pour k = 1, 2, . . . , m + 1.
(b) On suppose être dans le cas « grand ». Ecrire un système de m + 1 équations en distribution
pour les W k définis par :
W k = lim
t→+∞
e
−λ 2 t X k (t)v 2
où v 2 est un vecteur propre associé à λ 2 , comme dans le théorème 9.8.
(c) En déduire que W 1 est solution de l’équation en distribution :
W 1
L
= e
−λ 2 T
W
(1)
1 + e
−λ 2 τ W
(2)
1
où T est une variable aléatoire réelle positive dont on donnera la loi, et où W 1 , W
(1)
1 , W
(2)
1 sont
indépendantes et de même loi et indépendantes de T .