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9 Urnes de Pólya et applications
Appelons R la matrice de remplacement dans le modèle de Pólya des intervalles
vacants, pour le processus (Y n ) :
R =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1 2
−2 3
−3 4
. . .
. . .
−(m − 2) m − 1
m
−(m − 1)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Le polynôme caractéristique de R est
χ R (λ) =
m−1
k=1
(λ + k) − m!.
(9.12)
Les valeurs propres de R sont les racines de ce polynôme, et sont les solutions de
l’équation caractéristique (8.5) qui est apparue à la section 8.1.2 du chapitre 8. Il
apparaît (voir la thèse de Hennequin [129], annexe B) que λ = 1 est une solution,
toutes les racines sont simples, les racines non réelles sont conjuguées deux à deux
La figure 8.3 (au chapitre 8) permet de voir les racines pour m = 22.
Appelons λ 2 et λ 2 (conjuguée de λ 2 ) les deux valeurs propres telles que σ :=
(λ 2 ) = =(λ 2 ) soit la plus grande partie réelle de valeur propre différente de 1.
Pour fixer les idées, disons que λ 2 est la valeur propre de partie imaginaire τ =
(λ 2 ) > 0.
Une constatation importante est que les valeurs propres différentes de 1 ont toutes
une partie réelle ≤ 1/2 si et seulement si m ≤ 26, autrement dit :
σ ≤
1
2
⇐⇒ m ≤ 26 ⇐⇒ l’urne est petite ;
σ >
1
2
⇐⇒ m ≥ 27 ⇐⇒ l’urne est grande.
Le théorème 9.8 s’applique donc pour m ≥ 27 et comme W 3 = W 2 et u 3 = u 2
(avec les notations du théorème 9.8), nous avons :
Y n = nu 1 + n
λ 2 W 2 u 2 + n
λ 2 W 2 u 2 + o(n
σ )
(9.13)
qui peut aussi s’écrire (cf. [36])
Y n = nu 1 + n
σ ρ[C cos(τ log n + φ) + S sin(τ log n + φ)] + o(n
σ ),
9 Urnes de Pólya et applications
Appelons R la matrice de remplacement dans le modèle de Pólya des intervalles
vacants, pour le processus (Y n ) :
R =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1 2
−2 3
−3 4
. . .
. . .
−(m − 2) m − 1
m
−(m − 1)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Le polynôme caractéristique de R est
χ R (λ) =
m−1
k=1
(λ + k) − m!.
(9.12)
Les valeurs propres de R sont les racines de ce polynôme, et sont les solutions de
l’équation caractéristique (8.5) qui est apparue à la section 8.1.2 du chapitre 8. Il
apparaît (voir la thèse de Hennequin [129], annexe B) que λ = 1 est une solution,
toutes les racines sont simples, les racines non réelles sont conjuguées deux à deux
La figure 8.3 (au chapitre 8) permet de voir les racines pour m = 22.
Appelons λ 2 et λ 2 (conjuguée de λ 2 ) les deux valeurs propres telles que σ :=
(λ 2 ) = =(λ 2 ) soit la plus grande partie réelle de valeur propre différente de 1.
Pour fixer les idées, disons que λ 2 est la valeur propre de partie imaginaire τ =
(λ 2 ) > 0.
Une constatation importante est que les valeurs propres différentes de 1 ont toutes
une partie réelle ≤ 1/2 si et seulement si m ≤ 26, autrement dit :
σ ≤
1
2
⇐⇒ m ≤ 26 ⇐⇒ l’urne est petite ;
σ >
1
2
⇐⇒ m ≥ 27 ⇐⇒ l’urne est grande.
Le théorème 9.8 s’applique donc pour m ≥ 27 et comme W 3 = W 2 et u 3 = u 2
(avec les notations du théorème 9.8), nous avons :
Y n = nu 1 + n
λ 2 W 2 u 2 + n
λ 2 W 2 u 2 + o(n
σ )
(9.13)
qui peut aussi s’écrire (cf. [36])
Y n = nu 1 + n
σ ρ[C cos(τ log n + φ) + S sin(τ log n + φ)] + o(n
σ ),