9.4 Passage du modèle combinatoire discret au modèle continu
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branchement multitype (généralisation d’un processus de Galton-Watson, voir par
exemple Athreya-Ney [12]) et il est facile de voir que si nous appelons
0 = τ 0 < τ 1 < · · · < τ n < . . .
les instants de saut (qui sont les instants successifs où une horloge sonne) du
processus, alors τ n+1 − τ n suit une loi exponentielle de paramètre |Y CT (0)| + nS
qui est le nombre de boules dans l’urne à l’instant τ n (voir la section C.3.2 sur la loi
exponentielle). Si nous partons d’une seule boule à l’instant t = 0), alors τ n+1 − τ n
suit une loi exponentielle de paramètre n + 1. Le principe du plongement exprime
que les deux processus, celui à temps discret et celui à temps continu, ont la même
dynamique, de sorte que
Y
CT (τ n )
n
L
= (Y n ) n .
(9.10)
9.4.2 Principaux résultats
Le bénéfice de cette opération consiste à produire un processus de branchement
pour lequel les sous-arbres issus de la racine sont indépendants, alors que ce n’était
pas le cas pour le processus discret. Un résultat classique pour un tel processus de
branchement est que
Y
CT (t)e
−tR
t ≥0
est une F t -martingale (vectorielle), du moins dans le cas où R est diagonalisable.
En projetant le long des sous-espaces propres de la matrice R, nous obtenons autant
de martingales à valeurs dans C. Les théorèmes de convergence de martingales à
temps continu fournissent alors le comportement asymptotique du processus à temps
continu. Puis il faut revenir à l’objet qui nous intéresse, le processus d’urne à temps
discret, grâce au principe de plongement. C’est ce qui est fait dans Janson [147] dans
un cas très général. Le théorème suivant est dû à Janson [147] et à Pouyanne [213].
Théorème 9.10 Soit une urne de Pólya, de balance égale à 1, partant d’une boule
de couleur donnée à l’instant 0, de matrice de remplacement R irréductible, 7
diagonalisable, et telle que 1 est valeur propre simple. Appelons σ la plus grande
partie réelle des valeurs propres de R différentes de 1.
7 Nous disons que R est irréductible lorsque nous pouvons atteindre n’importe quelle couleur à
partir d’une couleur initiale, en itérant la matrice. Pour plus de détails, voir Janson [147].
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branchement multitype (généralisation d’un processus de Galton-Watson, voir par
exemple Athreya-Ney [12]) et il est facile de voir que si nous appelons
0 = τ 0 < τ 1 < · · · < τ n < . . .
les instants de saut (qui sont les instants successifs où une horloge sonne) du
processus, alors τ n+1 − τ n suit une loi exponentielle de paramètre |Y CT (0)| + nS
qui est le nombre de boules dans l’urne à l’instant τ n (voir la section C.3.2 sur la loi
exponentielle). Si nous partons d’une seule boule à l’instant t = 0), alors τ n+1 − τ n
suit une loi exponentielle de paramètre n + 1. Le principe du plongement exprime
que les deux processus, celui à temps discret et celui à temps continu, ont la même
dynamique, de sorte que
Y
CT (τ n )
n
L
= (Y n ) n .
(9.10)
9.4.2 Principaux résultats
Le bénéfice de cette opération consiste à produire un processus de branchement
pour lequel les sous-arbres issus de la racine sont indépendants, alors que ce n’était
pas le cas pour le processus discret. Un résultat classique pour un tel processus de
branchement est que
Y
CT (t)e
−tR
t ≥0
est une F t -martingale (vectorielle), du moins dans le cas où R est diagonalisable.
En projetant le long des sous-espaces propres de la matrice R, nous obtenons autant
de martingales à valeurs dans C. Les théorèmes de convergence de martingales à
temps continu fournissent alors le comportement asymptotique du processus à temps
continu. Puis il faut revenir à l’objet qui nous intéresse, le processus d’urne à temps
discret, grâce au principe de plongement. C’est ce qui est fait dans Janson [147] dans
un cas très général. Le théorème suivant est dû à Janson [147] et à Pouyanne [213].
Théorème 9.10 Soit une urne de Pólya, de balance égale à 1, partant d’une boule
de couleur donnée à l’instant 0, de matrice de remplacement R irréductible, 7
diagonalisable, et telle que 1 est valeur propre simple. Appelons σ la plus grande
partie réelle des valeurs propres de R différentes de 1.
7 Nous disons que R est irréductible lorsque nous pouvons atteindre n’importe quelle couleur à
partir d’une couleur initiale, en itérant la matrice. Pour plus de détails, voir Janson [147].