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9 Urnes de Pólya et applications
et par récurrence, pour tout n ∈ N,
D
n
x
u 0 y
v 0
=
u,v≥0
H n
u 0 u
v 0 v
x
u y
v .
Notons que c’est dans cette récurrence que les propriétés markoviennes du processus
interviennent. Par ailleurs, si (X, Y ) est une solution du système différentiel {X =
X a+1 Y b , Y = X c Y d+1 }, alors
d
dt
X(t)
u 0 Y (t)
v 0
= u 0 X(t)
a+u 0 Y (t)
b+v 0 + v 0 X(t)
c+u 0 Y (t)
d+v 0
= D
x
u 0 y
v 0
x = X(t)
y = Y (t)
avec une formule analogue pour la dérivée n ième . En regroupant, nous avons
successivement
H
X(t), Y (t), z
u 0
v 0
=
n≥0
D
n
x
u 0 y
v 0
x = X(t)
y = Y (t)
z n
n!
=
n≥0
d n
dt n
X(t)
u 0 Y (t)
v 0
z n
n!
en enfin, grâce à la formule de Taylor (analytique ou formelle),
H
X(t), Y (t), z
u 0
v 0
= X(t + z)
u 0 Y (t + z)
v 0 .
Le théorème s’ensuit immédiatement en prenant la valeur à l’origine (t = 0).
Ce théorème permet de trouver des expressions exactes des fonctions H et d’en tirer
des conséquences probabilistes très précises sur la distribution de l’urne à temps
fini, ou encore sur l’asymptotique du processus. Des exemples sont développés
dans [103, 215].
Remarque 9.3 Une conséquence du théorème est que
H
x, y, z
u 0
v 0
= H
x, y, z
1
0
u 0
H
x, y, z
0
1
v 0
.
Cette formule évoque une propriété de convolution et doit être mise en perspective
avec la propriété de branchement du processus de l’urne plongée en temps continu
comme dans la section 9.4, qui conduit à une équation semblable sur les transformées de Fourier de lois limites des grandes urnes (dans [40]). Le lien entre ces deux
propriétés reste à établir.