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8 Arbres m-aires et quadrants
De plus, si R est la matrice
R =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
−1 2
−2 3
−3 4
. . .
. . .
−(m − 2) m − 1
m
−(m − 1)
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
,
et si λ 2 et λ 2 (conjuguée de λ 2 ) sont les deux valeurs propres de la matrice R
telles que σ := =(λ 2 ) = =(λ 2 ) soit la plus grande partie réelle de valeur propre
différente de 1, alors
(i) si m ≤ 26 alors σ ≤
1
2 et le comportement asymptotique de X n est donné par
la convergence en loi
X n − nu 1
√
n
D
−→
n→∞
N(0, ,
2 ),
où N(0, , 2 ) désigne un vecteur gaussien centré de variance 2 et où
u 1 =
1
H m (1)
1
k(k + 1)
1≤k≤m−1
.
(ii) si m ≥ 27, alors σ >
1
2 et le comportement asymptotique de X n est donné par
X n = nu 1 + +(n
λ 2 W u 2 ) + o(n
σ ),
où la convergence exprimée par le petit o est presque sûre et dans tous les
espaces L p , p ≥ 1, où W est une variable aléatoire à valeurs complexes, et
u 2 =
1
H m (λ 2 )
1
k
λ 2 +k
k
1≤k≤m−1
.
Remarquons que le comportement asymptotique du nombre total de nœuds S n ,
étudié dans la section précédente par combinatoire analytique, devient un corollaire
du théorème 8.10. En effet (voir l’exercice 8.1), S n vaut
S n = X
(2)
n + · · · + X
(m)
n
et compte notamment les nœuds pleins, mais la relation (8.6) permet de voir que S n
est combinaison linéaire des coordonnées de X n , de sorte que finalement :
S n
n
p.s.
−→
n→∞
1
2H m (1)
=
1
2(H m − 1)
.