7.2 Analyses asymptotiques
331
les approximations
q n,k ≈
n!
2iπ
exp
⎛
⎝ −
n 2
2
w∈A
k
p
2
w
⎞
⎠
e z dz
z n+1
≈ exp
⎛
⎝ −
n 2
2
w∈A
k
p
2
w
⎞
⎠ .
Supposons en outre que la série de Dirichlet par niveaux k (s) =
w∈A
k p s
w
satisfasse une propriété « naturelle » de quasi-puissance au voisinage d’un
point σ , lorsque k → +∞ :
k (σ ) =
w∈A
k
p
σ
w ∼ λ(σ )
k .
(7.42)
Remarque 7.45 Cette propriété de quasi-puissance est par exemple vérifiée
pour la source sans mémoire
k (s) = λ(s)
k , avec λ(s) =
α∈A
p
s
α .
Pour une source markovienne, en appelant (comme dans la remarque 7.35)
P (s) la matrice tirée de la matrice de transition P de la chaîne en élevant
les probabilités de transition à la puissance s, et en supposant cette matrice
P (s) apériodique et irréductible (voir [20]), alors nous avons aussi un
comportement de quasi-puissance. La fonction λ(s) est la valeur propre
réelle 10 de plus grand module de la matrice P (s).
Cette propriété de quasi-puissance permet de définir la constante
ρ =
1
2
lim
k→∞
k (2)
λ(2) k .
(7.43)
Nous énonçons le résultat suivant, valable pour une classe de sources probabilisées englobant les sources sans mémoire et les sources markoviennes (voir
[46] pour des hypothèses et des développements plus précis).
(tsvp)
10 C’est une propriété de type Perron-Frobenius.