7.2 Analyses asymptotiques
319
demi-plan (s) > σ 1 , alors, pour n ≥ 1 + σ 0
T (n) =
(−1) n+1
2iπ
(s)=σ 1
G n (s) ds,
(7.34)
avec
G n (s) =
n! (s)
s(s − 1) . . . (s − n)
.
Nous ne donnons que les grands idées de la preuve pour la formule de
Nörlund-Rice. La figure 7.7 explique la configuration dans le plan complexe
pour le cas σ 0 = 1. Nous partons d’une intégrale associant au k-ième terme
de la série le résidu correspondant en s = k (voir la formule des résidus dans
l’annexe B.3.1). En effet en s = k, le résidu de
n!
s(s − 1) . . . (s − n)
est exactement
(−1)
k
n
k
.
La preuve consiste ensuite à déformer le contour pour ramener le calcul à
celui d’une intégrale sur une droite verticale. Alors, selon un principe général
en combinatoire analytique (cf. les livres de Flajolet et Sedgewick [94, 232]),
la droite d’intégration peut être refermée sur la gauche, dès que G n (s), et
donc (s), a de bonnes propriétés analytiques : nous avons besoin d’une
région R à gauche de (s) = σ 0 , où (s) soit de croissance polynomiale
(pour ||(s)| → ∞) et méromorphe. Nous obtenons finalement une formule
de résidus
T (n) = (−1)
n+1
⎡
⎣
ζ
Res (G n , ζ ) +
1
2iπ
2
G n (s) ds
⎤
⎦ ,
(7.35)
où 2 est un chemin de classe C 1 inclus dans la région R et où la somme
porte sur tous les pôles ζ de G n dans le domaine intérieur délimité par la
droite verticale (s) = σ 1 et la courbe 2 (représentée par une droite, pour
simplifier, sur la figure 7.7).
Les singularités dominantes de G n (s) donnent le comportement asymptotique de T (n), et l’intégrale du reste (deuxième terme du membre droit) est
estimée en utilisant la croissance polynomiale de G n (s) lorsque ||(s)| → ∞.
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demi-plan (s) > σ 1 , alors, pour n ≥ 1 + σ 0
T (n) =
(−1) n+1
2iπ
(s)=σ 1
G n (s) ds,
(7.34)
avec
G n (s) =
n! (s)
s(s − 1) . . . (s − n)
.
Nous ne donnons que les grands idées de la preuve pour la formule de
Nörlund-Rice. La figure 7.7 explique la configuration dans le plan complexe
pour le cas σ 0 = 1. Nous partons d’une intégrale associant au k-ième terme
de la série le résidu correspondant en s = k (voir la formule des résidus dans
l’annexe B.3.1). En effet en s = k, le résidu de
n!
s(s − 1) . . . (s − n)
est exactement
(−1)
k
n
k
.
La preuve consiste ensuite à déformer le contour pour ramener le calcul à
celui d’une intégrale sur une droite verticale. Alors, selon un principe général
en combinatoire analytique (cf. les livres de Flajolet et Sedgewick [94, 232]),
la droite d’intégration peut être refermée sur la gauche, dès que G n (s), et
donc (s), a de bonnes propriétés analytiques : nous avons besoin d’une
région R à gauche de (s) = σ 0 , où (s) soit de croissance polynomiale
(pour ||(s)| → ∞) et méromorphe. Nous obtenons finalement une formule
de résidus
T (n) = (−1)
n+1
⎡
⎣
ζ
Res (G n , ζ ) +
1
2iπ
2
G n (s) ds
⎤
⎦ ,
(7.35)
où 2 est un chemin de classe C 1 inclus dans la région R et où la somme
porte sur tous les pôles ζ de G n dans le domaine intérieur délimité par la
droite verticale (s) = σ 1 et la courbe 2 (représentée par une droite, pour
simplifier, sur la figure 7.7).
Les singularités dominantes de G n (s) donnent le comportement asymptotique de T (n), et l’intégrale du reste (deuxième terme du membre droit) est
estimée en utilisant la croissance polynomiale de G n (s) lorsque ||(s)| → ∞.