7.2 Analyses asymptotiques
311
où ψ(n) est une fonction périodique de log 2 n. Pour cela, regardons le comportement du terme v k = 1 − e −n/2 k lorsque k varie : lorsque k est « petit », v k ∼ 1,
et lorsque k tend vers l’infini, v k → 0 ; la transition se place aux alentours de
k = =log 2 n. Nous découpons la somme en deux parties, et
0≤k 1 − e
−n/2 k
= =log 2 n −
0≤k e
−n/2 k
= =log 2 n −
log 2 n
k=−∞
e
−n/2 k + O(e
−n )
= =log 2 n −
−1
k=−∞
e
−n/2 k++log 2 n + O(e
−n ).
En outre,
k≥≥log 2 n
1 − e
−n/2 k
=
k≥0
(1 − e
−n/2 k++log n 2
).
Avec {log 2 n} désignant la partie fractionnaire de log 2 n, nous pouvons aussi écrire
log 2 n = log 2 n − {log 2 n} et n/2
log 2 n
= 2
log 2 n−−log 2 n
= 2
{log 2 n} .
En posant
ψ(n) = −{log 2 n} −
k<0
e
−2 {log 2 n}−k +
k≥0
1 − e
−2 {log 2 n}−k
,
(7.26)
nous obtenons l’équation (7.25). La fonction ψ vérifie ψ(2x) = ψ(x) puisqu’elle
ne dépend que de la partie fractionnaire de log 2 n, et est donc périodique en log 2 n.
Nous vérifions numériquement que cette fonction n’admet pas de limite et fluctue
avec une amplitude de l’ordre de 10 −5 autour de
γ
log 2 +
1
2 = 1, 332746 . . .
Remarque 7.28 Nous pouvons mettre facilement en évidence ces fluctuations grâce
à la formule exacte (7.13) dans le cas de la longueur de cheminement
L n =
2
2 n
1 −
2
2 n
n +
n−1
k=0
n
k
L k
,
avec un péage γ n = n pour n ≥ 2, et L 0 = L 1 = 0.
La preuve et la mise en évidence de ces fluctuations se font à l’aide de techniques
plus pointues dont nous donnerons une idée dans la section 7.2.3. En combinant
maintenant ce résultat avec l’équation (7.24) ; nous obtenons la proposition suivante