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7 Arbres digitaux
Pour un paramètre de trie v, la source S étant fixée, nous notons l’espérance dans
ce modèle
E n [v] =
|X|=n
v(X)dP n (X),
(7.19)
où P n (X) = P(X 1 ) · · · P(X n ) si X = {X 1 , . . . , X n } ⊂ A
N .
Modèle de Poisson Dans ce modèle N mots infinis sont produits par une source S
grâce à un codage M, avec N une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de
paramètre Z pour k ≥ 0 :
P(N = k) = e
−Z Z k
k!
.
La variable aléatoire N est concentrée autour de sa moyenne Z et le paramètre Z
joue donc un rôle « équivalent » à celui du cardinal n de l’ensemble X dans le
modèle de Bernoulli précédent. Nous notons (P Z , S) ce modèle relatif au modèle
de Poisson et à la source S. L’espérance E Z [v] d’un paramètre de trie v dans ce
modèle s’écrit
E Z [v] =
∞
n=0
e
−Z Z n
n!
E n [v],
(7.20)
où E n [v] désigne l’espérance de l’équation (cf. (7.19)) dans le modèle de Bernoulli.
Pour résumer, le modèle de Poisson procède donc en deux étapes :
– Le nombre de mots N est tiré au hasard selon une loi de Poisson de paramètre Z.
– Puis N mots infinis sont produits indépendamment par la source, i.e., N
réels x 1 , . . . , x N sont tirés uniformément et indépendamment dans [0, 1], et
l’ensemble des mots émis par la source est {X 1 = M(x 1 ), . . . , X N = M(x N )}.
Classiquement, ce modèle permet d’affirmer qu’il y a indépendance des événements impliquant des points x i provenant de sous-intervalles disjoints de [0, 1]. De
plus le nombre de réels x i appartenant à un intervalle de mesure p est lui-même
distribué comme une variable de Poisson de paramètre Zp. Diverses propriétés de
la loi de Poisson utiles dans notre contexte sont rappelées dans l’annexe C.3.1.
Ainsi dans le modèle (P Z , S) le nombre de mots partageant un préfixe commun
w, et donc résultant de points appartenant au même intervalle fondamental associé à
w, est une variable aléatoire N w de Poisson de paramètre Zp w . Ici p w est justement
la probabilité fondamentale associée à w. Pour deux préfixes finis w et w tels que
aucun des deux mots ne soit préfixe l’un de l’autre, les variables aléatoires N w et
N w dans ce modèle sont indépendantes. Cette propriété très forte permet de calculer
assez facilement les espérances des paramètres de trie dans le modèle (P Z , S).
7 Arbres digitaux
Pour un paramètre de trie v, la source S étant fixée, nous notons l’espérance dans
ce modèle
E n [v] =
|X|=n
v(X)dP n (X),
(7.19)
où P n (X) = P(X 1 ) · · · P(X n ) si X = {X 1 , . . . , X n } ⊂ A
N .
Modèle de Poisson Dans ce modèle N mots infinis sont produits par une source S
grâce à un codage M, avec N une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de
paramètre Z pour k ≥ 0 :
P(N = k) = e
−Z Z k
k!
.
La variable aléatoire N est concentrée autour de sa moyenne Z et le paramètre Z
joue donc un rôle « équivalent » à celui du cardinal n de l’ensemble X dans le
modèle de Bernoulli précédent. Nous notons (P Z , S) ce modèle relatif au modèle
de Poisson et à la source S. L’espérance E Z [v] d’un paramètre de trie v dans ce
modèle s’écrit
E Z [v] =
∞
n=0
e
−Z Z n
n!
E n [v],
(7.20)
où E n [v] désigne l’espérance de l’équation (cf. (7.19)) dans le modèle de Bernoulli.
Pour résumer, le modèle de Poisson procède donc en deux étapes :
– Le nombre de mots N est tiré au hasard selon une loi de Poisson de paramètre Z.
– Puis N mots infinis sont produits indépendamment par la source, i.e., N
réels x 1 , . . . , x N sont tirés uniformément et indépendamment dans [0, 1], et
l’ensemble des mots émis par la source est {X 1 = M(x 1 ), . . . , X N = M(x N )}.
Classiquement, ce modèle permet d’affirmer qu’il y a indépendance des événements impliquant des points x i provenant de sous-intervalles disjoints de [0, 1]. De
plus le nombre de réels x i appartenant à un intervalle de mesure p est lui-même
distribué comme une variable de Poisson de paramètre Zp. Diverses propriétés de
la loi de Poisson utiles dans notre contexte sont rappelées dans l’annexe C.3.1.
Ainsi dans le modèle (P Z , S) le nombre de mots partageant un préfixe commun
w, et donc résultant de points appartenant au même intervalle fondamental associé à
w, est une variable aléatoire N w de Poisson de paramètre Zp w . Ici p w est justement
la probabilité fondamentale associée à w. Pour deux préfixes finis w et w tels que
aucun des deux mots ne soit préfixe l’un de l’autre, les variables aléatoires N w et
N w dans ce modèle sont indépendantes. Cette propriété très forte permet de calculer
assez facilement les espérances des paramètres de trie dans le modèle (P Z , S).