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7 Arbres digitaux
Fig. 7.5 Processus de raffinement pour une source binaire. Nous illustrons également la façon
dont deux mots sont associés à deux réels x et y de [0, 1]
Pour un réel x ∈ [0, 1], le symbole m i (x) est la i-ième lettre commune à tous les
préfixes p de longueur supérieure ou égale à i tels que x ∈ I p .
Remarque 7.22 L’application est définie presque partout car elle peut être définie de
deux façons aux points extrémités des intervalles. 5 Il est possible toutefois de fixer
de manière canonique en ces points une représentation ou l’autre. L’ensemble de
ces points est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue (car il y en a un nombre
dénombrable) et n’aura donc pas d’influence sur les analyses.
Le principe de la paramétrisation est illustré dans la figure 7.5.
Par exemple le premier symbole de M(x) est obtenu en examinant les intervalles
fondamentaux du premier niveau et en renvoyant la lettre qui indice l’intervalle 6
contenant x. Le processus est répété pour les symboles suivants en considérant les
raffinements successifs des intervalles. Ainsi
M(x) commence par w ⇐⇒ x ∈ I w .
Proposition 7.23 (Codage de A
N et mesure image) Soit S une source probabilisée donnée par la famille (p w ) w∈A
∗ (ou de mesure P associée). Nous considérons
les intervalles fondamentaux (I w ) w∈A
∗ et l’application M définie presque partout
(voir définitions 7.19 et 7.21). Alors la mesure image par M de la mesure de
Lebesgue λ sur [0, 1] est exactement P.
5 Nous pouvons penser par analogie aux développements impropres par exemple en base 10 :
0,999 · · · = 1,0000 . . . .
6 Toujours en admettant que cet intervalle est unique, ce qui est vrai sauf sur l’ensemble de mesure
nulle constitué des extrémités des intervalles fondamentaux.
7 Arbres digitaux
Fig. 7.5 Processus de raffinement pour une source binaire. Nous illustrons également la façon
dont deux mots sont associés à deux réels x et y de [0, 1]
Pour un réel x ∈ [0, 1], le symbole m i (x) est la i-ième lettre commune à tous les
préfixes p de longueur supérieure ou égale à i tels que x ∈ I p .
Remarque 7.22 L’application est définie presque partout car elle peut être définie de
deux façons aux points extrémités des intervalles. 5 Il est possible toutefois de fixer
de manière canonique en ces points une représentation ou l’autre. L’ensemble de
ces points est de mesure nulle pour la mesure de Lebesgue (car il y en a un nombre
dénombrable) et n’aura donc pas d’influence sur les analyses.
Le principe de la paramétrisation est illustré dans la figure 7.5.
Par exemple le premier symbole de M(x) est obtenu en examinant les intervalles
fondamentaux du premier niveau et en renvoyant la lettre qui indice l’intervalle 6
contenant x. Le processus est répété pour les symboles suivants en considérant les
raffinements successifs des intervalles. Ainsi
M(x) commence par w ⇐⇒ x ∈ I w .
Proposition 7.23 (Codage de A
N et mesure image) Soit S une source probabilisée donnée par la famille (p w ) w∈A
∗ (ou de mesure P associée). Nous considérons
les intervalles fondamentaux (I w ) w∈A
∗ et l’application M définie presque partout
(voir définitions 7.19 et 7.21). Alors la mesure image par M de la mesure de
Lebesgue λ sur [0, 1] est exactement P.
5 Nous pouvons penser par analogie aux développements impropres par exemple en base 10 :
0,999 · · · = 1,0000 . . . .
6 Toujours en admettant que cet intervalle est unique, ce qui est vrai sauf sur l’ensemble de mesure
nulle constitué des extrémités des intervalles fondamentaux.