xxx
Table des matières
B.3.4 Transformée d’Euler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
B.3.5 Fonctions implicites et formule d’inversion de Lagrange . . . 456
B.3.6 Lemme de transfert .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
B.4 Transformée de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
B.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
B.4.2 Propriétés fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
B.4.3 Propriétés asymptotiques .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
B.4.4 Sommes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
B.5 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
B.5.1 Quelques notations, fonctions, formules élémentaires .. . . . . . 464
B.5.2 Convergence de produits infinis . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
C Rappels mathématiques : probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
C.1 Fonction génératrice de probabilité. Moments d’une variable
aléatoire discrète .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
C.2 Transformée de Fourier : Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
C.3 Quelques lois de probabilité usuelles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
C.3.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
C.3.2 Loi exponentielle, horloges exponentielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
C.3.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
C.3.4 Loi Theta .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
C.3.5 Lois Gamma : Lois Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
C.4 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
C.5 Chaîne de Markov .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
C.6 Différents types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
C.6.1 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.6.2 Convergence presque sûre.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.6.3 Convergence dans L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.6.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
C.6.5 Hiérarchie des convergences .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
C.7 Espérance conditionnelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
C.8 Martingales discrètes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
C.8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
C.8.2 Convergences des martingales . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
C.9 L’urne de Pólya originelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
C.9.1 Lois de Dirichlet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
C.9.2 Urne de Pólya originelle : comportement asymptotique .. . . . 483
D Un peu d’histoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
E Rappel des notations utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
E.1 Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
E.2 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
E.2.1 Les différentes familles d’arbres .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
E.2.2 Les différents types de nœuds.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
Table des matières
B.3.4 Transformée d’Euler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
B.3.5 Fonctions implicites et formule d’inversion de Lagrange . . . 456
B.3.6 Lemme de transfert .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
B.4 Transformée de Mellin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
B.4.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
B.4.2 Propriétés fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 460
B.4.3 Propriétés asymptotiques .. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
B.4.4 Sommes harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
B.5 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
B.5.1 Quelques notations, fonctions, formules élémentaires .. . . . . . 464
B.5.2 Convergence de produits infinis . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
C Rappels mathématiques : probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
C.1 Fonction génératrice de probabilité. Moments d’une variable
aléatoire discrète .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
C.2 Transformée de Fourier : Transformée de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
C.3 Quelques lois de probabilité usuelles . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
C.3.1 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
C.3.2 Loi exponentielle, horloges exponentielles.. . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
C.3.3 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
C.3.4 Loi Theta .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
C.3.5 Lois Gamma : Lois Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
C.4 Inégalité de Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
C.5 Chaîne de Markov .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473
C.6 Différents types de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
C.6.1 Convergence en probabilité . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.6.2 Convergence presque sûre.. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.6.3 Convergence dans L p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
C.6.4 Convergence en loi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
C.6.5 Hiérarchie des convergences .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
C.7 Espérance conditionnelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
C.8 Martingales discrètes .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
C.8.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
C.8.2 Convergences des martingales . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
C.9 L’urne de Pólya originelle.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
C.9.1 Lois de Dirichlet .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482
C.9.2 Urne de Pólya originelle : comportement asymptotique .. . . . 483
D Un peu d’histoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
E Rappel des notations utilisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
E.1 Mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
E.2 Arbres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
E.2.1 Les différentes familles d’arbres .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
E.2.2 Les différents types de nœuds.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492