6.2 Analyse de la hauteur
251
entraîne aussi la connexion
τ
Yule
t
, t ≥ 0
L
=
τ N t , t ≥ 0
.
Les propriétés de cette connexion abr - arbre de Yule sont résumées dans la
proposition suivante. Davantage de détails sur le plongement en temps continu d’une
chaîne de Markov discrète se trouvent par exemple dans Bertoin [22].
Proposition 6.26 Le processus abr (τ n , n ≥ 0) et le processus arbre de Yule
(τ Yule
t
, t ≥ 0) considéré aux instants de saut T n , n ≥ 0 vérifient :
(i) les intervalles de temps T n − T n−1 sont indépendants et T n − T n−1 est une
variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre n ;
(ii) les processus (T n , n ≥ 0) et (τ Yule
T n
, n ≥ 0) sont indépendants ;
(iii) les processus (τ Yule
T n
, n ≥ 0) et (τ n , n ≥ 0) ont même loi ;
(iv) les processus (τ Yule
t
, t ≥ 0) et (τ N t , t ≥ 0), où N t est le nombre d’individus
en vie à l’instant t, ont même loi.
Preuve
(i) Par construction, T n est le premier instant de saut (la première mort)
après T n−1 , de sorte que T n − T n−1 est le minimum de n variables
aléatoires, indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre
1. Par conséquent (voir l’annexe C.3.2 sur les lois exponentielles),
T n − T n−1 suit une loi exponentielle de paramètre n.
(ii) Il s’agit d’une propriété générale des processus de saut : les instants de
saut et le processus arrêté à ces instants sont indépendants.
(iii) et (iv) Dans les deux cas, les deux processus considérés ont le même état
initial, à savoir un nœud racine, et les deux processus ont la même règle
d’évolution qui a été décrite plus haut.
Cette connexion est à la fois simple et profonde. Elle permet de considérer sur
le même espace de probabilité les deux processus (Yule et forme d’abr) et d’avoir
des égalités presque sûres et non seulement en loi. Concrètement, cette connexion
permet d’importer pour l’abr des résultats connus sur les processus de branchement,
sujets d’une abondante littérature. C’est l’un des ressorts de la démonstration du
théorème 6.12 sur le profil d’un abr.
Revenons à la hauteur de l’abr. D’après la construction de l’arbre de Yule, et
comme on peut le voir sur les figures 6.8 et 6.9, la position la plus à droite dans le
processus de Yule arrêté à l’instant T n est le plus grand numéro de génération des
particules en vie à l’instant T n ; c’est donc exactement le plus haut niveau d’une
feuille de l’abr τ n , c’est-à-dire la hauteur de τ n . Ainsi, en notant pour tout t ≥ 0,
R t := max{|u|, u ∈ N(t)}
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entraîne aussi la connexion
τ
Yule
t
, t ≥ 0
L
=
τ N t , t ≥ 0
.
Les propriétés de cette connexion abr - arbre de Yule sont résumées dans la
proposition suivante. Davantage de détails sur le plongement en temps continu d’une
chaîne de Markov discrète se trouvent par exemple dans Bertoin [22].
Proposition 6.26 Le processus abr (τ n , n ≥ 0) et le processus arbre de Yule
(τ Yule
t
, t ≥ 0) considéré aux instants de saut T n , n ≥ 0 vérifient :
(i) les intervalles de temps T n − T n−1 sont indépendants et T n − T n−1 est une
variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre n ;
(ii) les processus (T n , n ≥ 0) et (τ Yule
T n
, n ≥ 0) sont indépendants ;
(iii) les processus (τ Yule
T n
, n ≥ 0) et (τ n , n ≥ 0) ont même loi ;
(iv) les processus (τ Yule
t
, t ≥ 0) et (τ N t , t ≥ 0), où N t est le nombre d’individus
en vie à l’instant t, ont même loi.
Preuve
(i) Par construction, T n est le premier instant de saut (la première mort)
après T n−1 , de sorte que T n − T n−1 est le minimum de n variables
aléatoires, indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre
1. Par conséquent (voir l’annexe C.3.2 sur les lois exponentielles),
T n − T n−1 suit une loi exponentielle de paramètre n.
(ii) Il s’agit d’une propriété générale des processus de saut : les instants de
saut et le processus arrêté à ces instants sont indépendants.
(iii) et (iv) Dans les deux cas, les deux processus considérés ont le même état
initial, à savoir un nœud racine, et les deux processus ont la même règle
d’évolution qui a été décrite plus haut.
Cette connexion est à la fois simple et profonde. Elle permet de considérer sur
le même espace de probabilité les deux processus (Yule et forme d’abr) et d’avoir
des égalités presque sûres et non seulement en loi. Concrètement, cette connexion
permet d’importer pour l’abr des résultats connus sur les processus de branchement,
sujets d’une abondante littérature. C’est l’un des ressorts de la démonstration du
théorème 6.12 sur le profil d’un abr.
Revenons à la hauteur de l’abr. D’après la construction de l’arbre de Yule, et
comme on peut le voir sur les figures 6.8 et 6.9, la position la plus à droite dans le
processus de Yule arrêté à l’instant T n est le plus grand numéro de génération des
particules en vie à l’instant T n ; c’est donc exactement le plus haut niveau d’une
feuille de l’abr τ n , c’est-à-dire la hauteur de τ n . Ainsi, en notant pour tout t ≥ 0,
R t := max{|u|, u ∈ N(t)}